3-2 2次方程式の利用(要点)

【例題】

(1)連続する2つの整数がある。この2数の2乗の和は61になる。この2数を求めなさい。

小さい数を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}x^2+(x+1)^2 &=& 61 \\ x^2+x-30 &=& 0 \\ (x+6)(x-5) &=& 0\end{eqnarray} \[x=-6,x=5\] \(x=-6\)のとき、求める2数は-6と-5
\(x=5\)のとき、求める2数は5と6
【答】\(-6\)と\(-5,5\)と\(6\)

(2)ある数を2乗しなければならないのに、2倍したため、計算の結果が35小さくなった。ある数を求めなさい。

ある数を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}x^2 &=& 2x+35 \\ x^2-2x-35 &=& 0 \\ (x+5)(x-7) &=& 0\end{eqnarray} \[x=-5,x=7\] 【答】\(-5,7\)

【例題】

(1)縦\(30m\)、横\(45m\)の長方形の土地に、図のように縦横同じ幅の道をつけて、残りの土地を花壇にしたい。花壇の総面積を\(1000m^2\)にするには、道幅は何\(m\)にすればよいか答えなさい。

道幅を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}(30-x)(45-x) &=& 1000 \\ x^2-75x-350 &=& 0 \\ (x-5)(x-70) &=& 0\end{eqnarray} \[x=5,x=70\] 道幅は\(30m\)を超えることはないので、\(5m\)となる。 【答】\(5m\)

(2)ある正方形がある。この正方形の縦を\(10cm\)伸ばし、横を\(2cm\)縮めてできた長方形の面積は、元の正方形の面積の2倍より\(20cm^2\)小さくなった。元の正方形の1辺の長さを求めなさい。

元の正方形の1辺を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}(x+10)(x-2) &=& 2x^2-20 \\ -x^2-8x &=& 0 \\ x(x-8) &=& 0\end{eqnarray} \[x=0,x=8\] \(x>0\)ので、\(8cm\)となる。 【答】\(8cm\)

(3)周の長さが\(38cm\)、面積\(84cm^2\)の長方形の縦と横の長さを求めなさい。但し、横の方が長いものとする。

縦の長さを\(x\)とすると、横の長さは\(19-x\)となる。
\begin{eqnarray}x(19-x) &=& 84 \\ x^2-19x+84 &=& 0 \\ (x-7)(x-12) &=& 0\end{eqnarray} \[x=7,x=12\] 横の方が長いので、\(7cm\)となる。
【答】縦\(7cm\)、横\(12cm\)

【例題】

(1)△ABCはBC=12cm,AC=6cm,∠BCA=90°の直角三角形である。点Pは頂点Bを出発して毎秒2cmで頂点Cまで進む。同時に点Qは頂点Cを出発して毎秒1cmで頂点Aまで進む。△PCQの面積が9cm²になるのは出発してから何秒後になるか求めなさい。

\(x\)秒後のPCの長さは\(12-2x\)
\(x\)秒後のCQの長さは\(x\)
\(x\)秒後の△PCQは
\begin{eqnarray}\frac{x(12-2x)}{2} &=& 9 \\ x^2-6x+9 &=& 0 \\ (x-3)^2 &=& 0\end{eqnarray} \[x=3\] 【答】3秒後

(2)1辺18cmの正方形ABCDにおいて、点Pは頂点Aから頂点B、点Qは頂点Dから頂点Aまで動く。PとQは同時に出発して両方とも毎秒1cmで動くものとする。△QPCの面積が126cm²になるのは出発してから何秒後になるか求めなさい。

\(x\)秒後の面積は
\(18^2-\frac{18(18-x)}{2}-\frac{x(18-x)}{2}-\frac{18x}{2}=126\) \begin{eqnarray}648-324+18x-18x+x^2-18x &=& 252 \\ x^2-18x+72 &=& 0 \\ (x-6)(x-12) &=& 0\end{eqnarray} \[x=6,x=12\] 【答】6秒後,12秒後