【中学3年数学】7-3 空間図形への利用｜問題集
1.それぞれの立体の対角線の長さを求めなさい。
(1)縦\(3\)cm、横\(5\)cm、高さ\(4\)cmの直方体
対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=3^2+5^2+4^2\)
\(x^2=50\)
\(x>0\)より
\(x=5\sqrt{2}\)
よって、\(5\sqrt{2}\)cm
\(x^2=3^2+5^2+4^2\)
\(x^2=50\)
\(x>0\)より
\(x=5\sqrt{2}\)
よって、\(5\sqrt{2}\)cm
(2)\(1\)辺が\(3\)cmの立方体
対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=3^2+3^2+3^2\)
\(x^2=27\)
\(x>0\)より
\(x=3\sqrt{3}\)
よって、\(3\sqrt{3}\)cm
\(x^2=3^2+3^2+3^2\)
\(x^2=27\)
\(x>0\)より
\(x=3\sqrt{3}\)
よって、\(3\sqrt{3}\)cm
(3)縦\(6\)cm、横\(12\)cm、高さ\(8\)cmの直方体
対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=6^2+12^2+8^2\)
\(x^2=244\)
\(x>0\)より
\(x=2\sqrt{61}\)
よって、\(2\sqrt{61}\)cm
\(x^2=6^2+12^2+8^2\)
\(x^2=244\)
\(x>0\)より
\(x=2\sqrt{61}\)
よって、\(2\sqrt{61}\)cm
(4)縦\(2\)cm、横\(6\)cm、高さ\(3\)cmの直方体
対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=2^2+6^2+3^2\)
\(x^2=49\)
\(x>0\)より
\(x=7\)
よって、\(7\)cm
\(x^2=2^2+6^2+3^2\)
\(x^2=49\)
\(x>0\)より
\(x=7\)
よって、\(7\)cm
(5)縦\(\sqrt{5}\)cm、横\(2\)cm、高さ\(5\)cmの直方体
対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=(\sqrt{5})^2+2^2+5^2\)
\(x^2=34\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{34}\)
よって、\(\sqrt{34}\)cm
\(x^2=(\sqrt{5})^2+2^2+5^2\)
\(x^2=34\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{34}\)
よって、\(\sqrt{34}\)cm
2.底面の半径が\(3\)cm、母線の長さが\(5\)cmの円錐の体積を求めなさい。
円錐の高さを\(x\)とすると、
\(x^2+3^2=5^2\)
\(x^2=16\)
\(x>0\)より
\(x=4\)
よって、円錐の体積は、
\(\displaystyle \frac{1}{3}×\pi×3^2×4=12\pi\)cm\(^3\)
\(x^2+3^2=5^2\)
\(x^2=16\)
\(x>0\)より
\(x=4\)
よって、円錐の体積は、
\(\displaystyle \frac{1}{3}×\pi×3^2×4=12\pi\)cm\(^3\)
3.底面が\(1\)辺\(2\)cmの正方形で、他の辺が\(4\)cmの正四角錐の体積を求めなさい。
ACの長さを求める。
\(AC^2=2^2+2^2\)
\(AC^2=8\)
\(AC>0\)より
\(AC=2\sqrt{2}\)
角錐の高さを\(x\)とすると、
\(x^2+(\sqrt{2})^2=4^2\)
\(x^2=14\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{14}\)
よって、角錐の体積は、
\(\displaystyle \frac{1}{3}×2^2×\sqrt{14}=\frac{4\sqrt{14}}{3}\)cm\(^3\)
\(AC^2=2^2+2^2\)
\(AC^2=8\)
\(AC>0\)より
\(AC=2\sqrt{2}\)
角錐の高さを\(x\)とすると、
\(x^2+(\sqrt{2})^2=4^2\)
\(x^2=14\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{14}\)
よって、角錐の体積は、
\(\displaystyle \frac{1}{3}×2^2×\sqrt{14}=\frac{4\sqrt{14}}{3}\)cm\(^3\)
4.\(1\)辺が\(5\)cmの立方体に点Aから辺BCを通って点Gまで糸の長さがもっとも短くなるように糸をかけた。このときの糸の長さを求めなさい。
AGを\(x\)とすると、
\(x^2=5^2+10^2\)
\(x^2=125\)
\(x>0\)より
\(x=5\sqrt{5}\)
よって、\(5\sqrt{5}\)cm
\(x^2=5^2+10^2\)
\(x^2=125\)
\(x>0\)より
\(x=5\sqrt{5}\)
よって、\(5\sqrt{5}\)cm
5.\(1\)辺が\(4\)cmの立方体で辺AEの中点をM、辺CGの中点をNとする。次の問いに答えなさい。
(1)線分MNの長さを求めなさい。
MN=ACなので、ACを\(x\)とすると、
\(x^2=4^2+4^2\)
\(x^2=32\)
\(x>0\)より
\(x=4\sqrt{2}\)
よって、\(4\sqrt{2}\)cm
\(x^2=4^2+4^2\)
\(x^2=32\)
\(x>0\)より
\(x=4\sqrt{2}\)
よって、\(4\sqrt{2}\)cm
(2)線分DFの長さを求めなさい。
DFを\(x\)とすると、
\(x^2=4^2+4^2+4^2\)
\(x^2=48\)
\(x>0\)より
\(x=4\sqrt{3}\)
よって、\(4\sqrt{3}\)cm
\(x^2=4^2+4^2+4^2\)
\(x^2=48\)
\(x>0\)より
\(x=4\sqrt{3}\)
よって、\(4\sqrt{3}\)cm
(3)四角形DMFNの面積を求めなさい。
四角形DMFNはひし形であるので、求める面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{3}=8\sqrt{6}\)
よって、\(8\sqrt{6}\)cm\(^2\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{3}=8\sqrt{6}\)
よって、\(8\sqrt{6}\)cm\(^2\)
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