7-3 空間図形への利用(問題集)

1.それぞれの立体の対角線の長さを求めなさい。

(1)縦3cm、横5cm、高さ4cmの直方体

対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=3^2+5^2+4^2\)
\(x^2=50\)
\(x>0\)より
\(x=5\sqrt{2}\)
【答】\(5\sqrt{2}\)cm

(2)1辺が3cmの立方体

対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=3^2+3^2+3^2\)
\(x^2=27\)
\(x>0\)より
\(x=3\sqrt{3}\)
【答】\(3\sqrt{3}\)cm

(3)縦6cm、横12cm、高さ8cmの直方体

対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=6^2+12^2+8^2\)
\(x^2=244\)
\(x>0\)より
\(x=2\sqrt{61}\)
【答】\(2\sqrt{61}\)cm

(4)縦2cm、横6cm、高さ3cmの直方体

対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=2^2+6^2+3^2\)
\(x^2=49\)
\(x>0\)より
\(x=7\)
【答】\(7\)cm

(5)縦\(\sqrt{5}\)cm、横2cm、高さ5cmの直方体

対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=(\sqrt{5})^2+2^2+5^2\)
\(x^2=34\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{34}\)
【答】\(\sqrt{34}\)cm

2.底面の半径が3cm,母線の長さが5cmの円錐の体積を求めなさい。

円錐の高さを\(x\)とすると、
\(x^2+3^2=5^2\)
\(x^2=16\)
\(x>0\)より
\(x=4\)
よって、円錐の体積は、
\(\frac{1}{3}×\pi×3^2×4=12\pi\)
【答】\(12\pi cm^3\)

3.底面が1辺2cmの正方形で、他の辺が4cmの正四角錐の体積を求めなさい。

ACの長さを求める。
\(AC^2=2^2+2^2\)
\(AC^2=8\)
\(AC>0\)より
\(AC=2\sqrt{2}\)
角錐の高さを\(x\)とすると、
\(x^2+(\sqrt{2})^2=4^2\)
\(x^2=14\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{14}\)
よって、角錐の体積は、
\(\frac{1}{3}×2^2×\sqrt{14}=\frac{4\sqrt{14}}{3}\)
【答】\(\frac{4\sqrt{14}}{3}cm^3\)

4.1辺が5cmの立方体に点Aから辺BCを通って点Gまで糸の長さがもっとも短くなるように糸をかけた。このときの糸の長さを求めなさい。