【線形代数】2-6-1 転置行列｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数で基礎となる「転置行列」の定義や主な性質（和・積・逆行列の転置など）を解説します。基本的な行列の転置を求める例題と解答もまとめて掲載しています。
転置行列の定義と性質
【転置行列】
\(m\times n\)行列\(A\)に対して、行と列を入れかえて得られる\(n\times m\)行列を転置行列といい、\(A^{\mathrm{T}}\)で表す。成分で表せば、\(A=(a_{ij})_{ij}\)に対して、\(A^{\mathrm{T}}=(a_{ji})_{ij}\)となる。
【転置行列の性質】
\(A\)と\(B\)を\(m\times n\)行列、\(C\)を\(n\times p\)行列とし、\(\alpha\)をスカラーとする。
(1)\((A+B)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}\)
(2)\((A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=A\)
(3)\((\alpha A)^{\mathrm{T}}=\alpha A^{\mathrm{T}}\)
(4)\((AC)^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}\)
【転置行列の逆行列】
\(A\)が正則行列ならば、その転置行列\(A^{\mathrm{T}}\)も正則行列で
\((A^{\mathrm{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}}\)
が成り立つ。
【例題】次の転置行列を求めなさい。