【線形代数】2-6-2 対称行列と交代行列｜問題集
1.行列\(A\)が対称行列となるような、\(a,b\)の値を求めなさい。
(1)\(A=\begin{pmatrix}1 & a & 2 \\ -3 & 6 & 4 \\ b & 4 & -1\end{pmatrix}\)
\(a=-3,b=2\)
2.行列\(A\)が交代行列となるような、\(a,b\)の値を求めなさい。
(1)\(A=\begin{pmatrix}a & 8 & -1 \\ -8 & 0 & b \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix}\)
\(a=0,b=-4\)
3.\(n\)次正方行列\(P\)は\(PP^{\mathrm{T}}=E\)を満たし、さらに\(P+E\)が正則であるとする。このとき、\(A=(P-E)(P+E)^{-1}\)とおく。
(1)\(A(E+P^{\mathrm{T}})=E-P^{\mathrm{T}}\)を証明しなさい。
与えられた等式の両辺に右から\(P+E\)をかけると
\(A(P+E)=P-E\)
両辺に右から\(P^{\mathrm{T}}\)をかけると
\(A(P+E)P^{\mathrm{T}}=(P-E)P^{\mathrm{T}}\)
\(A(PP^{\mathrm{T}}+P^{\mathrm{T}})=PP^{\mathrm{T}}-P^{\mathrm{T}}\)
\(A(E+P^{\mathrm{T}})=E-P^{\mathrm{T}}\)
\(A(P+E)=P-E\)
両辺に右から\(P^{\mathrm{T}}\)をかけると
\(A(P+E)P^{\mathrm{T}}=(P-E)P^{\mathrm{T}}\)
\(A(PP^{\mathrm{T}}+P^{\mathrm{T}})=PP^{\mathrm{T}}-P^{\mathrm{T}}\)
\(A(E+P^{\mathrm{T}})=E-P^{\mathrm{T}}\)
(2)\(A^{\mathrm{T}}=(E+P)^{-1}(E-P)\)を証明しなさい。
\(A(E+P^{\mathrm{T}})=E-P^{\mathrm{T}}\)の両辺を転置をとると
\(\{A(E+P^{\mathrm{T}})\}^{\mathrm{T}}=(E-P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\)
\((E+P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}=E^{\mathrm{T}}-(P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\)
\(\{E^{\mathrm{T}}+(P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\}A^{\mathrm{T}}=E-P\)
\((E+P)A^{\mathrm{T}}=E-P\)
\(E+P\)は正則なので、その逆行列を左からかけると
\(A^{\mathrm{T}}=(E+P)^{-1}(E-P)\)
\(\{A(E+P^{\mathrm{T}})\}^{\mathrm{T}}=(E-P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\)
\((E+P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}=E^{\mathrm{T}}-(P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\)
\(\{E^{\mathrm{T}}+(P^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\}A^{\mathrm{T}}=E-P\)
\((E+P)A^{\mathrm{T}}=E-P\)
\(E+P\)は正則なので、その逆行列を左からかけると
\(A^{\mathrm{T}}=(E+P)^{-1}(E-P)\)
(3)\(A\)は交代行列であることを証明しなさい。
\(-A=-(P-E)(P+E)^{-1}\)
\(=-\{(P+E)-2E\}(P+E)^{-1}\)
\(=-E-2(P+E)^{-1}\)
\(A^{\mathrm{T}}=(E+P)^{-1}(E-P)\)
\(=(P+E)^{-1}\{-(P+E)+2E\}\)
\(=-E-2(P+E)^{-1}\)
よって、\(A^{\mathrm{T}}=-A\)が成り立つので\(A\)は交代行列である。
\(=-\{(P+E)-2E\}(P+E)^{-1}\)
\(=-E-2(P+E)^{-1}\)
\(A^{\mathrm{T}}=(E+P)^{-1}(E-P)\)
\(=(P+E)^{-1}\{-(P+E)+2E\}\)
\(=-E-2(P+E)^{-1}\)
よって、\(A^{\mathrm{T}}=-A\)が成り立つので\(A\)は交代行列である。
4.\(A\)を\(m\)次正則行列、\(B\)を\(n\)次正則行列、\(C\)を\(m\times n\)行列とする。
(1)\(m+n\)次正方行列\(\begin{pmatrix}A & C \\ O_{n,m} & B\end{pmatrix}\)は正則であり、逆行列は\(\begin{pmatrix}A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O_{n,m} & B^{-1}\end{pmatrix}\)であることを証明しなさい。
\(X=\begin{pmatrix}A & C \\ O_{n,m} & B\end{pmatrix},Y=\begin{pmatrix}A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O_{n,m} & B^{-1}\end{pmatrix}\)とおくと
\(XY=\begin{pmatrix}AA^{-1} & -AA^{-1}CB^{-1}+CB^{-1} \\ O_{n,m} & BB^{-1}\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}E_m & O_{m,n} \\ O_{n,m} & E_n\end{pmatrix}\)
\(=E_{m+n}\)
\(YX=\begin{pmatrix}A^{-1}A & -A^{-1}C-A^{-1}CB^{-1}B \\ O_{n,m} & B^{-1}B\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}E_m & O_{m,n} \\ O_{n,m} & E_n\end{pmatrix}\)
\(=E_{m+n}\)
よって、\(XY=YX=E_{m+n}\)となるので、
\(X\)は正則で、その逆行列は\(X^{-1}=Y\)
\(XY=\begin{pmatrix}AA^{-1} & -AA^{-1}CB^{-1}+CB^{-1} \\ O_{n,m} & BB^{-1}\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}E_m & O_{m,n} \\ O_{n,m} & E_n\end{pmatrix}\)
\(=E_{m+n}\)
\(YX=\begin{pmatrix}A^{-1}A & -A^{-1}C-A^{-1}CB^{-1}B \\ O_{n,m} & B^{-1}B\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}E_m & O_{m,n} \\ O_{n,m} & E_n\end{pmatrix}\)
\(=E_{m+n}\)
よって、\(XY=YX=E_{m+n}\)となるので、
\(X\)は正則で、その逆行列は\(X^{-1}=Y\)
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