【線形代数】3-1-1 基本行列と行列の基本変形｜問題集
1.\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\)とおく。次の行列を計算し、\(A\)をどのように基本変形したものか答えなさい。
(1)\(P_3(2,1;3)A\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21}+3a_{11} & a_{22}+3a_{12} & a_{23}+3a_{13} & a_{24}+3a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(1\)行の\(3\)倍を第\(2\)行に加えた行列
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21}+3a_{11} & a_{22}+3a_{12} & a_{23}+3a_{13} & a_{24}+3a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(1\)行の\(3\)倍を第\(2\)行に加えた行列
(2)\(AR_4(2,4)\)
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{14} & a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & a_{24} & a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & a_{34} & a_{33} & a_{32}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(2\)列と第\(4\)列を入れ替えた行列
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{14} & a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & a_{24} & a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & a_{34} & a_{33} & a_{32}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(2\)列と第\(4\)列を入れ替えた行列
(3)\(Q_3(3;2)A\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} & 2a_{34}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(3\)行を\(2\)倍した行列
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} & 2a_{34}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(3\)行を\(2\)倍した行列
(4)\(AP_4(4,3;2)\)
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}+2a_{14} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}+2a_{24} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}+2a_{34} & a_{34}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(4\)列の\(2\)倍を第\(3\)列に加えた行列
\(=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}+2a_{14} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}+2a_{24} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}+2a_{34} & a_{34}\end{pmatrix}\)
よって、
\(A\)の第\(4\)列の\(2\)倍を第\(3\)列に加えた行列
2.\(3\times 4\)行列\(A\)を次のように基本変形するには、どの基本行列を左右どちらからかければよいか答えなさい。
(1)\(A\)の第\(3\)行の\(-1\)倍を第\(1\)行に加える。
\(P_3(1,3;-1)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)を\(A\)に左からかける。
(2)\(A\)の第\(4\)列の\(3\)倍を第\(2\)列に加える。
\(P_4(4,2;3)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 3 & 0& 1\end{pmatrix}\)を\(A\)に右からかける。
(3)\(A\)の第\(1\)列を\(5\)倍する。
\(Q_4(1;5)=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0& 1\end{pmatrix}\)を\(A\)に右からかける。
(4)\(A\)の第\(1\)行と第\(2\)行を入れ替える。
\(R_3(1,2)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)を\(A\)に左からかける。
(5)\(A\)の第\(3\)行を\(2\)倍する。
\(Q_3(3;2)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\)を\(A\)に左からかける。
(6)\(A\)の第\(1\)列と第\(4\)列を入れ替える。
\(R_4(1,4)=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 0& 0\end{pmatrix}\)を\(A\)に右からかける。
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