【線形代数】3-1-1 基本行列と行列の基本変形｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数における「対称行列」と「交代行列」の定義および具体的な見分け方を解説します。あわせて、計算で頻出となる「ブロック分けされた行列（分体行列）の積」についても要点をまとめています。
基本行列
【基本行列】
\(E_n\)を\(n\)次単位行列とする。
(1)\(E_n\)の第\(i\)行の第\(j\)行を\(c\)倍したものを加えて得られる行列を\(P_n(i,j;c)\)とする。
(2)\(E_n\)の第\(i\)行を\(c(\neq0)\)倍した行列を\(Q_n(i;c)\)とする。
(3)\(E_n\)の第\(i\)行と第\(j\)行を入れ替えた行列を\(R_n(i,j)\)とする。
これらの行列をn次基本行列という。
【例題】次の行列を答えなさい。
ブロック分けされた行列
【ブロック分けされた行列の積】
(1)\(A\)を\(m\times n\)行列、\(B\)を\(n\times l\)行列とし、\(B\)の第\(j\)列ベクトル\(\boldsymbol{b}_j\)とする。このとき
\(AB=A\begin{pmatrix}\boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots & \boldsymbol{b}_l\end{pmatrix}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}A\boldsymbol{b}_1 & A\boldsymbol{b}_2 & \cdots & A\boldsymbol{b}_l\end{pmatrix}\)
が成り立つ。
(2)\(A\)を\(m\times n\)行列、\(B\)を\(n\times l\)行列とし、\(A\)の第\(j\)列ベクトル\(\boldsymbol{a}_j\)とする。このとき
\(AB=\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}_1 \\ \boldsymbol{a}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_m\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}_1B \\ \boldsymbol{a}_2B \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_mB\end{pmatrix}\)
が成り立つ。
(3)\(A\)を\((m_1+m_2)\times(n_1+n_2)\)行列、\(B\)を\((n_1+n_2)\times(l_1+l_2)\)行列とし、次のように4つの行列にブロック分けされているとする。
\(A=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}\)
ただし、\(A_{ij}\)は\(m_i\times n_j\)行列、\(B_{ij}\)は\(n_i\times l_j\)行列である。このとき、
\(AB=\begin{pmatrix}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\end{pmatrix}\)
が成り立つ。