1-1-3 等差数列の和(要点)

【等差数列の和】

初項\(a\)、末項\(l\)、公差\(d\)、項数\(n\)の等差数列の和\(S_n\)は、
\(\displaystyle S_n=\frac{n(a+l)}{2}\)
\(\displaystyle S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\)

【例題】次の等差数列の和を求めなさい。

(1)初項\(6\)、末項\(10\)、項数\(12\)

\(\displaystyle S_n=\frac{12(6+10)}{2}\)
\(\ \ \ \ =96\)

(2)初項\(2\)、公差\(3\)、項数\(20\)

\(\displaystyle S_n=\frac{20\{2・2+19・3\}}{2}\)
\(\ \ \ \ =610\)

(3)\(1,4,7,\cdots,100\)

項数を求める。
\(1+3(n-1)=100\)
\(n=34\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{34(1+100)}{2}\)
\(\ \ \ \ =1717\)

【自然数の和】

(1)自然数の和
\(1+2+3+\cdots+n\)
\(\displaystyle S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)

(2)奇数の和
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)\)
\(\displaystyle S_n=n^2\)

(3)偶数の和
\(2+4+6+\cdots+2n\)
\(\displaystyle S_n=n(n+1)\)

【例題】次の和を求めなさい。

(1)\(1+2+3+\cdots+20\)

\(\displaystyle S_n=\frac{20(1+20)}{2}\)
\(\ \ \ \ =210\)

(2)\(1+3+5+\cdots+27\)

\(S_n=14^2\)
\(\ \ \ \ =196\)

(3)\(2+4+6+\cdots+100\)

\(S_n=50(1+50)\)
\(\ \ \ \ =2550\)