【高校数学B】2-1-3 確率変数の和と積｜要点まとめ
このページでは、高校数学Bの「確率変数の和と積」について整理しています。確率変数の和の期待値や分散、独立な確率変数の積の期待値の求め方をわかりやすく解説します。複数の確率変数を扱う計算の基礎を理解し、定期テストや大学入試にも対応できる実践的な力を身につけましょう。
確率変数の和の期待値(公式と求め方)
【確率変数の和の期待値】
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
【例題】\(2\)個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数をそれぞれ\(X,Y\)とする。このとき、和\(X+Y\)の期待値を求めなさい。
\(\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7\)
独立な確率変数の積の期待値
【独立な確率変数の積の期待値】
\(X,Y\)が独立であるとき、
\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
【例題】\(2\)個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数をそれぞれ\(X,Y\)とする。このとき、積\(XY\)の期待値を求めなさい。
\(\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2}・\frac{7}{2}=\frac{49}{4}\)
独立な確率変数の和の分散
【独立な確率変数の和の分散】
\(X,Y\)が独立であるとき、
\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)
【例題】\(2\)個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数をそれぞれ\(X,Y\)とする。このとき、和\(X+Y\)の分散、標準偏差を求めなさい。
分散\(V(X),V(Y)\)は、
\(V(X)\)
\(=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}+\frac{4}{6}+\frac{9}{6}+\frac{16}{6}+\frac{25}{6}+\frac{36}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{35}{12}\)
分散\(V(X+Y)\)は、
\(\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}\)
標準偏差\(\sigma(X+Y)\)は、
\(\displaystyle \sigma(X+Y)=\sqrt{V(X+Y)}=\sqrt{\frac{35}{6}}=\frac{\sqrt{210}}{6}\)
\(V(X)\)
\(=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}+\frac{4}{6}+\frac{9}{6}+\frac{16}{6}+\frac{25}{6}+\frac{36}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{35}{12}\)
分散\(V(X+Y)\)は、
\(\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}\)
標準偏差\(\sigma(X+Y)\)は、
\(\displaystyle \sigma(X+Y)=\sqrt{V(X+Y)}=\sqrt{\frac{35}{6}}=\frac{\sqrt{210}}{6}\)
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