2-1-3 確率変数の和と積(要点)

【確率変数の和の期待値】

【例題】\(2\)個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数をそれぞれ\(X,Y\)とする。このとき、和\(X+Y\)の期待値を求めなさい。

\(\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7\)

【独立な確率変数の積の期待値】

【例題】\(2\)個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数をそれぞれ\(X,Y\)とする。このとき、積\(XY\)の期待値を求めなさい。

\(\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2}・\frac{7}{2}=\frac{49}{4}\)

【独立な確率変数の和の分散】

【例題】\(2\)個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数をそれぞれ\(X,Y\)とする。このとき、和\(X+Y\)の分散、標準偏差を求めなさい。

分散\(V(X),V(Y)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}+4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{6}+\frac{4}{6}+\frac{9}{6}+\frac{16}{6}+\frac{25}{6}+\frac{36}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{35}{12}\)

分散\(V(X+Y)\)は、
\(\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}\)
標準偏差\(\sigma(X+Y)\)は、
\(\displaystyle \sigma(X+Y)=\sqrt{V(X+Y)}=\sqrt{\frac{35}{6}}=\frac{\sqrt{210}}{6}\)