1-2-3 いろいろな数列の和(要点)

【例題】次の数列の和を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{20}\frac{1}{k(k+1)}\)

部分分数に分解すると
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{20}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{21}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{1}-\frac{1}{21}\)
\(\displaystyle =\frac{20}{21}\)

(2)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\)

部分分数に分解すると
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}・\frac{2n}{2n+1}\)
\(\displaystyle =\frac{n}{2n+1}\)

【例題】次の数列の和を求めなさい。

(1)\(1・3,2・4,3・5,\cdots,n(n+2)\)

\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k(k+2)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2・\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1+6)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\)

(2)\(1・1,3・3,5・3^2,\cdots,(2n-1)3^{n-1}\)

初項から\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、
\(S_n=1・1+3・3+5・3^2+\cdots+(2n-1)3^{n-1}\)
\(3S_n=1・3+3・3^2+5・3^3+\cdots+(2n-1)3^n\)
両辺をそれぞれ引くと、
\(-2S_n=1・1+2・3+2・3^2+\cdots+2・3^{n-1}-(2n-1)3^n\)
\(\displaystyle -2S_n=1+\frac{2(3^n-1)}{3-1}-(2n-1)3^n\)
\(\displaystyle -2S_n=2(1-n)3^n\)
\(S_n=(n-1)3^n\)

【例題】次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めなさい。

(1)\(1,1+4,1+4+7,\cdots,1+4+7+\cdots+(3n-2)\)

一般項\(a_n\)を求める。
\(a_n=1+4+7+\cdots+(3n-2)\)
初項\(1\)、末項\(3n-2\)、項数\(n\)の等差数列なので、
\(\displaystyle a_n=\frac{n\{1+(3n-2)\}}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{n}{2}(3n-1)\)
この数列の和\(S_n\)は
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2}(3k-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\sum_{k=1}^{n}(\frac{3}{2}k^2-\frac{1}{2}k)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{3}{2}・\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}・\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{4}n(n+1)\{(2n+1)-1)\}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{2}n^2(n+1)\)

【例題】次の群数列について、問いに答えなさい。
\(2|4,6,8|10,12,14,16,18|\cdots\)

(1)第\(n\)群の最初の項を求めなさい。

項の一般項を\(a_m\)とすると、
\(a_m=2m\)
各群の項数の一般項を\(b_n\)とすると、
\(b_n=2n-1\)
\(n\geqq2\)のとき、\(n-1\)群までの項数の和は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)\)
\(\displaystyle =2・\frac{1}{2}n(n-1)-(n-1)\)
\(=n^2-2n+1\)
各群の最初の項は\(+1\)になるので、\(n^2-2n+2\)となる。
一般項\(a_n\)は、
\(a_n=2(n^2-2n+2)\)
\(a_1=2\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=2(n^2-2n+2)\)

(2)第\(n\)群の全ての項の和を求めなさい。

第\(n\)群は初項\(2(n^2-2n+2)\)、公差\(2\)、項数\(2n-1\)の等差数列になるので、
\(\displaystyle \frac{2n-1}{2}\{2(2n^2-4n+4)+2(2n-1-1)\}\)
\(\displaystyle =\frac{2n-1}{2}(4n^2-8n+8+4n-4)\)
\(=2(2n-1)(n^2-n+1)\)