確率変数の期待値
【確率変数の期待値】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(・・・\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(・・・\) | \(p_n\) | 1 |
を確率変数\(X\)の期待値または平均といい、\(E(X)\)で表す。
\(\displaystyle E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+・・・+x_np_n\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{k=1}^{n}x_kp_k\)
【例題】次のような賞金がついている\(20\)本のくじがある。このくじを\(1\)本引くときの賞金の期待値を求めなさい。
| 賞金 | 本数 | |
| \(1\)等 | \(10000\)円 | \(1\)本 |
| \(2\)等 | \(1000\)円 | \(3\)本 |
| \(3\)等 | \(100\)円 | \(16\)本 |
確率変数\(X\)の確率分布は以下のようになる。
| \(X\) | \(10000\) | \(1000\) | \(100\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{20}\) | \(\displaystyle \frac{3}{20}\) | \(\displaystyle \frac{16}{20}\) | \(1\) |
よって、賞金の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =10000・\frac{1}{20}+1000・\frac{3}{20}+100・\frac{16}{20}\)
\(\displaystyle =500+150+80\)
\(\displaystyle =730\)
確率変数の一次式の期待値
【確率変数の一次式の期待値】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(・・・\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(・・・\) | \(p_n\) | 1 |
\(\displaystyle E(Y)=aE(X)+b\)
【例題】\(1\)個のさいころを\(1\)回投げるときの出る目を\(X\)とする。確率変数\(X\)の期待値を求めなさい。また、\(Y=2X-1\)で定められる確率変数\(Y\)の期待値を求めなさい。
\(X\)の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}+4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(Y\)の期待値\(E(Y)\)は、
\(\displaystyle E(Y)=E(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2E(X)-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・\frac{7}{2}-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =6\)
確率変数の分散
【例題】赤玉\(2\)個と白玉\(4\)個が入ってる袋から、\(3\)個の玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数\(X\)の分散を求めなさい。
確率変数\(X\)の確率分布は以下のようになる。
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(\displaystyle \frac{3}{5}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(1\) |
期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{5}+2・\frac{3}{5}+3・\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle =2\)
よって、分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{5}+2^2・\frac{3}{5}+3^2・\frac{1}{5}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}+\frac{12}{5}+\frac{9}{5}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\)
確率変数の一次式の分散
【確率変数の一次式の分散】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(・・・\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(・・・\) | \(p_n\) | 1 |
\(\displaystyle V(Y)=a^2V(X)\)
【例題】\(1\)個のさいころを\(1\)回投げるときの出る目を\(X\)とする。確率変数\(X\)の分散を求めなさい。また、\(Y=2X-1\)で定められる確率変数\(Y\)の分散を求めなさい。
\(X\)の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}+4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}+4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{35}{12}\)
\(Y\)の分散\(V(Y)\)は、
\(\displaystyle V(Y)=V(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2^2V(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4・\frac{35}{12}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{35}{3}\)
確率変数の標準偏差
【例題】赤玉\(2\)個と白玉\(4\)個が入ってる袋から、\(3\)個の玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数\(X\)の標準偏差を求めなさい。
確率変数\(X\)の確率分布は以下のようになる。
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(\displaystyle \frac{3}{5}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(1\) |
期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{5}+2・\frac{3}{5}+3・\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle =2\)
分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{5}+2^2・\frac{3}{5}+3^2・\frac{1}{5}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}+\frac{12}{5}+\frac{9}{5}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\)
よって、標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{10}}{5}\)
確率変数の一次式の標準偏差
【確率変数の一次式の標準偏差】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(・・・\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(・・・\) | \(p_n\) | 1 |
\(\displaystyle \sigma(Y)=|a|\sigma(X)\)
【例題】\(1\)個のさいころを\(1\)回投げるときの出る目を\(X\)とする。確率変数\(X\)の標準偏差を求めなさい。また、\(Y=2X-1\)で定められる確率変数\(Y\)の標準偏差を求めなさい。
\(X\)の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}+4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}+4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{35}{12}\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{35}{12}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{105}}{6}\)
\(Y\)の分散\(\sigma(Y)\)は、
\(\displaystyle \sigma(Y)=\sigma(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =|2|\sigma(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・\frac{\sqrt{105}}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{105}}{3}\)