【高校数学B】2-1-2 期待値と分散｜要点まとめ
このページでは、高校数学Bの「期待値・分散・標準偏差」について整理しています。確率変数の平均（期待値）やばらつきを示す分散・標準偏差の定義と計算方法をわかりやすく解説し、一次式に関する問題にも対応。定期テストや大学入試対策に役立つ基礎をしっかり身につけられます。
期待値の定義と求め方
【確率変数の期待値】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(\cdots\) | \(p_n\) | 1 |
を確率変数\(X\)の期待値または平均といい、\(E(X)\)で表す。
\(\displaystyle E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+\cdots+x_np_n\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{k=1}^{n}x_kp_k\)
【例題】次のような賞金がついている\(20\)本のくじがある。このくじを\(1\)本引くときの賞金の期待値を求めなさい。
| 賞金 | 本数 | |
| \(1\)等 | \(10000\)円 | \(1\)本 |
| \(2\)等 | \(1000\)円 | \(3\)本 |
| \(3\)等 | \(100\)円 | \(16\)本 |
確率変数\(X\)の確率分布は以下のようになる。
よって、賞金の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =10000・\frac{1}{20}+1000・\frac{3}{20}+100・\frac{16}{20}\)
\(\displaystyle =500+150+80\)
\(\displaystyle =730\)
| \(X\) | \(10000\) | \(1000\) | \(100\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{20}\) | \(\displaystyle \frac{3}{20}\) | \(\displaystyle \frac{16}{20}\) | \(1\) |
\(E(X)\)
\(\displaystyle =10000・\frac{1}{20}+1000・\frac{3}{20}+100・\frac{16}{20}\)
\(\displaystyle =500+150+80\)
\(\displaystyle =730\)
一次式の期待値
【確率変数の一次式の期待値】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(\cdots\) | \(p_n\) | 1 |
\(\displaystyle E(Y)=aE(X)+b\)
【例題】\(1\)個のさいころを\(1\)回投げるときの出る目を\(X\)とする。確率変数\(X\)の期待値を求めなさい。また、\(Y=2X-1\)で定められる確率変数\(Y\)の期待値を求めなさい。
\(X\)の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(Y\)の期待値\(E(Y)\)は、
\(\displaystyle E(Y)=E(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2E(X)-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・\frac{7}{2}-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =6\)
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(Y\)の期待値\(E(Y)\)は、
\(\displaystyle E(Y)=E(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2E(X)-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・\frac{7}{2}-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =6\)
分散の定義と求め方
【確率変数の分散】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられ、
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(\cdots\) | \(p_n\) | 1 |
\((x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+(x_3-m)^2p_3\)
\(\ \ \ +\cdots+(x_n-m)^2p_n\)
を確率変数\(X\)の分散といい、\(V(X)\)で表す。
\(V(X)\)
\(=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2\)
\(\ \ \ +(x_3-m)^2p_3+\cdots+(x_n-m)^2p_n\)
\(=E((X-m)^2)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2p_k\)
\(=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
【例題】赤玉\(2\)個と白玉\(4\)個が入ってる袋から、\(3\)個の玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数\(X\)の分散を求めなさい。
確率変数\(X\)の確率分布は以下のようになる。
期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{5}+2・\frac{3}{5}+3・\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle =2\)
よって、分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{5}+2^2・\frac{3}{5}+3^2・\frac{1}{5}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}+\frac{12}{5}+\frac{9}{5}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\)
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(\displaystyle \frac{3}{5}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(1\) |
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{5}+2・\frac{3}{5}+3・\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle =2\)
よって、分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{5}+2^2・\frac{3}{5}+3^2・\frac{1}{5}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}+\frac{12}{5}+\frac{9}{5}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\)
一次式の分散
【確率変数の一次式の分散】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(\cdots\) | \(p_n\) | 1 |
\(\displaystyle V(Y)=a^2V(X)\)
【例題】\(1\)個のさいころを\(1\)回投げるときの出る目を\(X\)とする。確率変数\(X\)の分散を求めなさい。また、\(Y=2X-1\)で定められる確率変数\(Y\)の分散を求めなさい。
\(X\)の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(V(X)\)
\(=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{35}{12}\)
\(Y\)の分散\(V(Y)\)は、
\(\displaystyle V(Y)=V(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2^2V(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4・\frac{35}{12}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{35}{3}\)
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(V(X)\)
\(=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{35}{12}\)
\(Y\)の分散\(V(Y)\)は、
\(\displaystyle V(Y)=V(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2^2V(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4・\frac{35}{12}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{35}{3}\)
標準偏差の定義と意味
【確率変数の標準偏差】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(\cdots\) | \(p_n\) | 1 |
を確率変数\(X\)の標準偏差といい、\(\sigma(X)\)で表す。
\(\sigma(X)\)
\(=\sqrt{V(X)}\)
\(=\sqrt{(x_1-m)^2p_1+\cdots+(x_n-m)^2p_n}\)
\(=\sqrt{E((X-m)^2)}\)
\(=\sqrt{E(X^2)-\{E(X)\}^2}\)
【例題】赤玉\(2\)個と白玉\(4\)個が入ってる袋から、\(3\)個の玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数\(X\)の標準偏差を求めなさい。
確率変数\(X\)の確率分布は以下のようになる。
期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{5}+2・\frac{3}{5}+3・\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle =2\)
分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{5}+2^2・\frac{3}{5}+3^2・\frac{1}{5}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}+\frac{12}{5}+\frac{9}{5}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\)
よって、標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{10}}{5}\)
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(\displaystyle \frac{3}{5}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(1\) |
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{5}+2・\frac{3}{5}+3・\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle =2\)
分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1^2・\frac{1}{5}+2^2・\frac{3}{5}+3^2・\frac{1}{5}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}+\frac{12}{5}+\frac{9}{5}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2}{5}\)
よって、標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{10}}{5}\)
一次式の標準偏差
【確率変数の一次式の標準偏差】
確率変数\(X\)が次のような確率分布のように与えられたとき、
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(\cdots\) | \(p_n\) | 1 |
\(\displaystyle \sigma(Y)=|a|\sigma(X)\)
【例題】\(1\)個のさいころを\(1\)回投げるときの出る目を\(X\)とする。確率変数\(X\)の標準偏差を求めなさい。また、\(Y=2X-1\)で定められる確率変数\(Y\)の標準偏差を求めなさい。
\(X\)の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(V(X)\)
\(=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{35}{12}\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{35}{12}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{105}}{6}\)
\(Y\)の標準偏差\(\sigma(Y)\)は、
\(\displaystyle \sigma(Y)=\sigma(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =|2|\sigma(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・\frac{\sqrt{105}}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{105}}{3}\)
\(E(X)\)
\(\displaystyle =1・\frac{1}{6}+2・\frac{1}{6}+3・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4・\frac{1}{6}+5・\frac{1}{6}+6・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(V(X)\)
\(=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle =1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+3^2・\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ +4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{35}{12}\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{35}{12}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{105}}{6}\)
\(Y\)の標準偏差\(\sigma(Y)\)は、
\(\displaystyle \sigma(Y)=\sigma(2X-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =|2|\sigma(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・\frac{\sqrt{105}}{6}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{105}}{3}\)
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