1.次の数列の一般項を求めなさい。
(1)\(\displaystyle a_1=3,a_{n+1}=a_n+4\)
初項:\(3\),公差:\(4\)の等差数列なので、一般項は
\(\displaystyle a_n=3+(n-1)・4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =3+4n-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =4n-1\)
(2)\(\displaystyle a_1=100,a_{n+1}=a_n-7\)
初項:\(100\),公差:\(-7\)の等差数列なので、一般項は
\(\displaystyle a_n=100+(n-1)・(-7)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =100-7n+7\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =-7n+107\)
(3)\(\displaystyle a_1=3,a_{n+1}=4a_n\)
初項:\(3\),公比:\(4\)の等比数列なので、一般項は
\(\displaystyle a_n=3・4^{n-1}\)
(4)\(\displaystyle a_1=100,a_{n+1}=-7a_n\)
初項:\(100\),公比:\(-7\)の等比数列なので、一般項は
\(\displaystyle a_n=100・(-7)^{n-1}\)
(5)\(\displaystyle a_1=0,a_{n+1}=a_n+2n+1\)
階差数列\(b_n=2n+1\)なので、一般項は
\(n\geqq2\)のとき
\(\displaystyle a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b(k)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =0+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =0+2・\frac{1}{2}n(n-1)+(n-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =0+n^2-n+n-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =n^2-1\)
\(a_1=0\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(\displaystyle a_n=n^2-1\)
(6)\(\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=a_n+6n^2-2n\)
階差数列\(b_n=6n^2-2n\)なので、一般項は
\(n\geqq2\)のとき
\(\displaystyle a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b(k)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+\sum_{k=1}^{n-1}(6k^2-2k)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+6・\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)-2・\frac{1}{2}n(n-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+2n^3-3n^2+n-n^2+n\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =2n^3-4n^2+2n+1\)
\(a_1=1\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(\displaystyle a_n=2n^3-4n^2+2n+1\)
(7)\(\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=a_n+3^n\)
階差数列\(b_n=3^n\)なので、一般項は
\(n\geqq2\)のとき
\(\displaystyle a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b(k)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+\sum_{k=1}^{n-1}3^k\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+\frac{3・3^{n-1}-3}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+\frac{3^n-3}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{3^n-1}{2}\)
\(a_1=2\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(\displaystyle a_n=\frac{3^n-1}{2}\)
(8)\(\displaystyle a_1=5,a_{n+1}=4a_n-6\)
与えられた漸化式を式変形すると、
\(a_{n+1}-2=4(a_n-2)\)
\(b_n=a_n-2\)とおく。
\(b_{n+1}=4b_n\)
\(b_1=a_1-2\)
\(\ \ \ \ =5-2\)
\(\ \ \ \ =3\)
初項\(3\)、公比\(4\)の等比数列なので、
\(\displaystyle b_n=3・4^{n-1}\)
\(b_n=a_n-2\)より、
\(\displaystyle a_n=3・4^{n-1}+2\)
(9)\(\displaystyle a_1=3,a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1\)
与えられた漸化式を式変形すると、
\(\displaystyle a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)\)
\(\displaystyle b_n=a_n-2\)とおく。
\(\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n\)
\(\displaystyle b_1=a_1-2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =3-2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1\)
初項\(1\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の等比数列なので、
\(\displaystyle b_n=1・\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle b_n=a_n-2\)より、
\(\displaystyle a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+2\)
(10)\(\displaystyle a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=7a_{n+1}-10a_n\)
\(a_{n+2}\)を\(c^2\)、\(a_{n+1}\)を\(c\)、\(a_n\)を\(1\)とすると、
\(c^2-7c+10=0\)
\(c=2,5\)
与えられた漸化式を式変形すると、
\(a_{n+2}-2a_{n+1}=5(a_{n+1}-2a_n)\)
\(a_{n+2}-5a_{n+1}=2(a_{n+1}-5a_n)\)
\(a_{n+1}-2a_n\)は初項:\(a_2-2a_1=1\)、公比:\(5\)の等比数列なので、
\(a_{n+1}-2a_n=1・5^{n-1}\)
\(a_{n+1}-5a_n\)は初項:\(a_2-5a_1=1\)、公比:\(2\)の等比数列なので、
\(a_{n+1}-5a_n=1・2^{n-1}\)
両辺を引くと、
\(3a_n=5^{n-1}-2^{n-1}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{5^{n-1}-2^{n-1}}{3}\)
