確率変数と確率分布
【確率変数と確率分布】
袋から取り出した玉の個数のように、試行の結果によってある値をとり、その値をとる確率が定まる変数\(X\)を確率変数という。確率変数\(X\)のとる値\(x_1,x_2,x_3,・・・,x_n\)と\(X\)がそれらの値をとる確率\(p_1,p_2,p_3,・・・,p_n\)の対応関係を確率分布という。
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(・・・\) | \(x_n\) | 計 |
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(・・・\) | \(p_n\) | 1 |
\(p_1\geqq 0,p_2\geqq 0,p_3\geqq 0,・・・,p_1\geqq 0\)
\(p_1+p_2+p_3+・・・+p_n=1\)
確率変数\(X\)が1つの値\(a\)をとる確率を\(P(x=a)\)で表す。
また、\(X\)が\(a\)以上\(b\)以下の値をとる確率を\(P(a\leqq x\leqq b)\)で表す。
【例題】\(2\)つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和\(X\)の確率分布を求めなさい。また、確率\(P(6\leqq X\leqq8)\)を求めなさい。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
\(X\)は2から12までの整数の値をとり、確率分布は以下のようになる。
| \(X\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{36}\) | \(\displaystyle \frac{2}{36}\) | \(\displaystyle \frac{3}{36}\) | \(\displaystyle \frac{4}{36}\) | \(\displaystyle \frac{5}{36}\) | \(\displaystyle \frac{6}{36}\) |
| \(X\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{5}{36}\) | \(\displaystyle \frac{4}{36}\) | \(\displaystyle \frac{3}{36}\) | \(\displaystyle \frac{2}{36}\) | \(\displaystyle \frac{1}{36}\) | \(1\) |
また、\(6\leqq X\leqq8\)となる\(X\)の値は、
\(P(6\leqq X\leqq8)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36}\)
\(\displaystyle =\frac{16}{36}\)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}\)