1.次の数列の和を求めなさい。
(1)\(1・1,2・7,3・13,\cdots,n(6n-5)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k(6k-5)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(6k^2-5k)\)
\(\displaystyle =6・\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-5・\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}n(n+1)(4n+2-5)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}n(n+1)(4n-3)\)
(2)\(1・3,2・5,3・7,4・9,\cdots\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k(2k+1)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(2k^2+k)\)
\(\displaystyle =2・\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(4n+2+3)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)\)
(3)\(1・1,2・3,3・5,4・7,\cdots\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k(2k-1)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(2k^2-k)\)
\(\displaystyle =2・\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(4n+2-3)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(4n-1)\)
(4)\(1・1,2・2,3・2^2,\cdots,n・2^{n-1}\)
初項から\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、
\(S_n=1・1+2・2+3・2^2+\cdots+n・2^{n-1}\)
\(2S_n=1・2+2・2^2+3・2^3+\cdots+n・2^n\)
両辺をそれぞれ引くと、
\(-S_n=1・1+1・2^1+1・2^2+\cdots+1・2^{n-1}-n・2^n\)
\(\displaystyle -S_n=\frac{2^n-1}{2-1}-n・2^n\)
\(S_n=(n-1)2^n+1\)
(5)\(2・2,4・4,6・8,8・16,\cdots\)
初項から\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、
\(S_n=2・2+4・2^2+6・2^3+\cdots+2n・2^n\)
\(2S_n=2・2^2+4・2^3+6・2^4+\cdots+2n・2^{n+1}\)
両辺をそれぞれ引くと、
\(-S_n=2・2+2・2^2+2・2^3+\cdots+2・2^n-2n・2^{n+1}\)
\(\displaystyle -S_n=2・\frac{2(2^n-1)}{2-1}-2n・2^{n+1}\)
\(S_n=(n-1)2^{n+2}+4\)
(6)\(1・3,2・9,3・27,4・81,\cdots\)
初項から\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、
\(S_n=1・3+2・3^2+3・3^3+\cdots+n・3^n\)
\(3S_n=1・3^2+2・3^3+3・3^4+\cdots+n・3^{n+1}\)
両辺をそれぞれ引くと、
\(-2S_n=1・3+1・3^2+1・3^3+\cdots+1・3^n-n・3^{n+1}\)
\(\displaystyle -2S_n=\frac{3(3^n-1)}{3-1}-n・3^{n+1}\)
\(\displaystyle S_n=-\frac{3}{4}(3^n-1)+\frac{n}{2}3^{n+1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}\)
2.次の数列の和を求めなさい。
部分分数に分解すると
\(\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{n}{2n+1}\)
(2)\(\displaystyle \frac{1}{1・2}+\frac{1}{2・3}+\frac{1}{3・4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\)
\(\displaystyle =\frac{n}{n+1}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k+2}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k+2})}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1})\)
\(\displaystyle =-\sqrt{2}+\sqrt{n+2}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+2}}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+2}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+2})(\sqrt{k}-\sqrt{k+2})}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(\sqrt{k+2}-\sqrt{k})\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(-1-\sqrt{2}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})\)
3.次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めなさい。
一般項\(a_n\)を求める。
\(a_n=2+5+8+\cdots+(3n-1)\)
初項\(2\)、末項\(3n-1\)、項数\(n\)の等差数列なので、
\(\displaystyle a_n=\frac{n\{2+(3n-1)\}}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{n}{2}(3n+1)\)
この数列の和\(S_n\)は
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2}(3k+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\sum_{k=1}^{n}(\frac{3}{2}k^2+\frac{1}{2}k)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{3}{2}・\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}・\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{4}n(n+1)\{(2n+1)+1)\}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{2}n(n+1)^2\)
一般項\(a_n\)を求める。
\(a_n=1-2+4+\cdots+(-2)^{n-1}\)
初項\(1\)、公比\(-2\)、項数\(n\)の等比数列なので、
\(\displaystyle a_n=\frac{1-(-2)^n}{1-(-2)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{3}\{1-(-2)^n\}\)
この数列の和\(S_n\)は
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{3}-\frac{2}{3}(-2)^{k-1}\right\}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{3}n+\frac{\frac{2}{3}\{1-(-2)^n\}}{1-(-2)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{9}\{(-2)^{n+1}+3n+2\}\)
4.次の群数列について、問いに答えなさい。
\(1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|\cdots\)
(1)第\(n\)群の最初の項を求めなさい。
項の一般項を\(a_m\)とすると、
\(a_m=2m-1\)
各群の項数の一般項を\(b_n\)とすると、
\(b_n=n\)
\(n\geqq2\)のとき、\(n-1\)群までの項数の和は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}n(n-1)\)
各群の最初の項は\(+1\)になるので、\(\frac{1}{2}n(n-1)+1\)となる。
一般項\(a_n\)は、
\(\displaystyle a_n=2\left\{\frac{1}{2}n(n-1)+1\right\}-1\)
\(\ \ \ \ =n^2-n+1\)
\(a_1=1\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=n^2-n+1\)
(2)第\(15\)群の全ての項の和を求めなさい。
第\(15\)群は初項\(15^2-15+1\)、公差\(2\)、項数\(15\)の等差数列になるので、
\(\displaystyle \frac{15}{2}\{2(15^2-15+1)+2(15-1)\}\)
\(\displaystyle =\frac{15}{2}・450\)
\(=3375\)
5.次の群数列について、問いに答えなさい。
\(1|2,2,2,2|3,3,3,3,3,3,3,3,3|4,\cdots\)
(1)\(7\)が現れるのは第何項か求めなさい。
\(1\)群\(6\)群までの項数は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{6}k^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}・6(6+1)(2・6+1)\)
\(=91\)
よって、\(7\)が最初に現れるのは第\(92\)項
(2)第\(200\)項を求めなさい。また、初項から第\(200\)項までの和を求めなさい。
\(1\)群\(7\)群までの項数は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{7}k^2=\frac{1}{6}・7(7+1)(2・7+1)=140\)
\(1\)群\(8\)群までの項数は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{8}k^2=\frac{1}{6}・8(8+1)(2・8+1)=204\)
第\(200\)項は\(8\)群の\(60\)項目なので、\(8\)
また、第\(200\)項までの和は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{7}k^3+8・60\)
\(\displaystyle =\left\{\frac{1}{2}・7(7+1)\right\}^2+480\)
\(=784+480\)
\(=1264\)
6.次の群数列について、問いに答えなさい。
\(1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,\cdots\)
(1)第\(10\)群の最初の項を求めなさい。
第\(9\)群までの和は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{9}k=\frac{1}{2}・9(9+1)=45\)
よって、第\(10\)群の最初の項は\(46\)
(2)第\(10\)群の全ての項の和を求めなさい。
第\(10\)群は初項\(46\)、公差\(1\)、項数\(10\)の等差数列になるので、
\(\displaystyle \frac{10}{2}\{2・46+1・(10-1)\}\)
\(=5・101\)
\(=505\)
(3)第\(n\)群の全ての項の和を求めなさい。
第\(1\)群から第\(n-1\)群までの和は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}・n(n-1)\)
第\(n\)群は初項\(\displaystyle \frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+1\)、公差\(1\)、項数\(n\)の等差数列になるので、
\(\displaystyle \frac{n}{2}\left\{2・\left(\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+1\right)+1・(n-1)\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{n}{2}(n^2+1)\)