2-1-1 確率変数と確率分布(問題集)

1.赤玉\(2\)個と白玉\(4\)個が入っている袋から\(3\)個の玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数\(X\)の確率分布を求めなさい。また確率\(P(X\geqq 2)\)を求めなさい。

\(X\)のとり得る値は\(1,2,3\)なので、
\(\displaystyle P(X=1)=\frac{{}_2\mathrm{C}_2・{}_4\mathrm{C}_1}{{}_6\mathrm{C}_3}=\frac{1・4}{\frac{6・5・4}{3・2・1}}=\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle P(X=2)=\frac{{}_2\mathrm{C}_1・{}_4\mathrm{C}_2}{{}_6\mathrm{C}_3}=\frac{1・\frac{4・3}{2・1}}{\frac{6・5・4}{3・2・1}}=\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle P(X=3)=\frac{{}_4\mathrm{C}_3}{{}_6\mathrm{C}_3}=\frac{\frac{4・3・2}{3・2・1}}{\frac{6・5・4}{3・2・1}}=\frac{1}{5}\)
\(X\)の確率分布は以下のようになる。

また、
\(P(X\geqq2)\)
\(\displaystyle =\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{4}{5}\)

2.赤玉\(6\)個と白玉\(3\)個が入っている袋から\(3\)個の玉を取り出すとき、取り出した赤玉の個数\(X\)の確率分布を求めなさい。また確率\(P(X\leqq 2)\)を求めなさい。

\(X\)のとり得る値は\(0,1,2,3\)なので、
\(\displaystyle P(X=0)=\frac{{}_3\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{1}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{1}{84}\)
\(\displaystyle P(X=1)=\frac{{}_6\mathrm{C}_1・{}_3\mathrm{C}_2}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{6・\frac{3・2}{2・1}}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{18}{84}\)
\(\displaystyle P(X=2)=\frac{{}_6\mathrm{C}_2・{}_3\mathrm{C}_1}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{\frac{6・5}{2・1}・3}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{45}{84}\)
\(\displaystyle P(X=3)=\frac{{}_6\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{\frac{6・5・4}{3・2・1}}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{20}{84}\)
\(X\)の確率分布は以下のようになる。

また、
\(P(X\leqq 2)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{84}+\frac{18}{84}+\frac{45}{84}\)
\(\displaystyle =\frac{64}{84}\)
\(\displaystyle =\frac{16}{21}\)