【高校数学B】2-2-2 正規分布｜要点まとめ
このページでは、高校数学Bの「正規分布」について整理しています。正規分布の性質や平均・分散の関係、標準化の方法、二項分布の近似などをわかりやすく解説します。確率分布の理解を深め、テストや大学入試に役立つ知識を身につけましょう。
正規分布とは｜定義とグラフの形
【正規分布】
連続型確率変数\(X\)の確率密度関数\(f(x)\)が
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\)
\(\pi\):円周率
\(e\):無理数(\(=\)2.817\(\cdots\))
\(m\):平均
\(\sigma\):標準偏差
で表されるとき、\(X\)は正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うという。
このとき、平均は\(E(X)=m\)、標準偏差は\(\sigma(X)=\sigma\)になる。
また、\(y=f(x)\)のグラフを正規分布曲線という。
【正規分布曲線の性質】
・直線\(x=m\)(期待値)に関して左右対称な曲線で、\(f(x)\)は\(x=m\)で最大で、遠ざかるにつれて減少し\(0\)に近づく。(\(x\)軸が漸近線)
・標準偏差\(\sigma\)が大きくなるほど、山が低くなって横に広がる。
【標準正規分布】
平均\(0\)、標準偏差\(1\)の正規分布\(N(0,1)\)を標準正規分布という。
確率変数\(Z\)が標準正規分布\(N(0,1)\)に従うとき、\(Z\)が\(0\)と\(z_0\)の間の値をとる確率\(P(0\leqq Z\leqq z_0)\)はグレー部分の面積に等しい。
正規分布表は、\(P(0\leqq Z\leqq z_0)\)の値をまとめたものである。
【確率変数の標準化】
確率変数\(X\)が正規分布\(N(m,\sigma^2)\)に従うとき、\(\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}\)とおくと、確率変数\(Z\)は標準正規分布\(N(0,1)\)に従う。
【例題】次の正規分布表を見て答えなさい。
| \(z_0\) | \(.00\) | \(.03\) | \(.05\) | \(.06\) | \(.08\) |
| \(0.0\) | \(\small 0.0000\) | \(\small 0.0120\) | \(\small 0.0199\) | \(\small 0.0239\) | \(\small 0.0319\) |
| \(0.2\) | \(\small 0.0793\) | \(\small 0.0910\) | \(\small 0.0987\) | \(\small 0.1026\) | \(\small 0.1103\) |
| \(0.5\) | \(\small 0.1915\) | \(\small 0.2109\) | \(\small 0.2088\) | \(\small 0.2123\) | \(\small 0.2190\) |
| \(0.7\) | \(\small 0.2580\) | \(\small 0.2673\) | \(\small 0.2734\) | \(\small 0.2764\) | \(\small 0.2823\) |
| \(1.0\) | \(\small 0.3413\) | \(\small 0.3485\) | \(\small 0.3531\) | \(\small 0.3554\) | \(\small 0.3599\) |
| \(1.9\) | \(\small 0.4713\) | \(\small 0.4732\) | \(\small 0.4744\) | \(\small 0.4750\) | \(\small 0.4761\) |
| \(2.0\) | \(\small 0.4772\) | \(\small 0.4788\) | \(\small 0.4798\) | \(\small 0.4803\) | \(\small 0.4812\) |
| \(2.3\) | \(\small 0.4893\) | \(\small 0.4901\) | \(\small 0.4906\) | \(\small 0.4909\) | \(\small 0.4913\) |
| \(2.5\) | \(\small 0.4938\) | \(\small 0.4943\) | \(\small 0.4946\) | \(\small 0.4948\) | \(\small 0.4951\) |
(1)確率変数\(Z\)が標準正規分布\(N(0,1)\)に従うとき、次の確率を求めなさい。
\(=0.4772-0.3413\)
\(=0.1359\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq 0.7)\)
\(=0.5-0.2580\)
\(=0.2420\)
\(X=3\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{3-6}{3}=-1\)
\(X=6\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{6-6}{3}=0\)
よって、
\(P(3\leqq X\leqq 6)\)
\(=P(-1\leqq Z\leqq 0)\)
\(=P(0\leqq Z\leqq 1)\)
\(=0.3413\)
\(\displaystyle Z=\frac{X-61.5}{10.0}\)とおくと、確率変数\(Z\)は\(N(0,1)\)に従う。
\(X=59\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{59-61.5}{10.0}=-0.25\)
\(X=61\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{61-61.5}{10.0}=-0.05\)
よって、
\(P(59\leqq X\leqq 61)\)
\(=P(-0.25\leqq Z\leqq -0.05)\)
\(=P(0.05\leqq Z\leqq 0.25)\)
\(=P(0\leqq Z\leqq 0.25)-P(0\leqq Z\leqq 0.05)\)
\(=0.0987-0.0199\)
\(=0.0788\)
\(59\)秒以上\(61\)秒以下の人数は
\(200\times0.0788=15.76\)
よって、約\(16\)人
正規分布による二項分布の近似
【正規分布による二項分布の近似】
確率変数\(X\)が二項分布\(B(n,p)\)に従うとき、\(n\)が十分大きければ\(X\)は正規分布\(N(np,npq)\)に従うとみなしてよい。ただし、\(p+q=1\)
【標準正規分布による二項分布の近似】
確率変数\(X\)が二項分布\(B(n,p)\)に従うとき、\(n\)が十分大きければ
\(\displaystyle Z=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\)
とおくと、確率変数\(Z\)は標準正規分布\(N(0,1)\)に従うとみなしてよい。
平均\(\displaystyle m=400・\frac{1}{10}=40\)個
標準偏差\(\displaystyle \sigma=\sqrt{400・\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10}\right)}=6\)個
\(400\)は十分大きいので、\(X\)は正規分布\(N(40,6^2)\)に従うとみなしてよい。
\(\displaystyle Z=\frac{X-40}{6}\)とおくと、確率変数\(Z\)は\(N(0,1)\)に従う。
\(X=43\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{43-40}{6}=0.5\)
よって、
\(P(X\geqq 43)\)
\(=P(Z\geqq 0.5)\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq 0.5)\)
\(=0.5-0.1915\)
\(=0.3085\)