【高校数学B】2-3-2 推定｜問題集
1.試験受験者の中から\(100\)人を無作為抽出して勉強時間を調査したところ、標本平均が\(10.0\)時間、標本標準偏差が\(4.0\)時間だった。試験受験者の平均勉強時間を信頼度\(95\)%で区間推定しなさい。
平均勉強時間を\(m\)とする。
標本標準偏差\(s=4.0\)、標本の大きさ\(n=100\)、標本平均\(\bar{X}=10.0\)のとき、信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 10.0-t_{99}(0.025)\frac{4.0}{\sqrt{100}}\leqq m\)
\(\displaystyle \ \ \ \leqq 10.0+t_{99}(0.025)\frac{4.0}{\sqrt{100}}\)
自由度\(99\)の\(t\)値は約\(1.984\)、\(n\)が大きいので正規分布で近似し、\(1.96\)を用いると
\(\displaystyle 10.0-1.96\times\frac{4.0}{\sqrt{100}}\leqq m \leqq 10.0+1.96\times\frac{4.0}{\sqrt{100}}\)
\(9.216\leqq m \leqq 10.784\)
よって、
\(9.2\)時間以上\(10.8\)時間以下
標本標準偏差\(s=4.0\)、標本の大きさ\(n=100\)、標本平均\(\bar{X}=10.0\)のとき、信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 10.0-t_{99}(0.025)\frac{4.0}{\sqrt{100}}\leqq m\)
\(\displaystyle \ \ \ \leqq 10.0+t_{99}(0.025)\frac{4.0}{\sqrt{100}}\)
自由度\(99\)の\(t\)値は約\(1.984\)、\(n\)が大きいので正規分布で近似し、\(1.96\)を用いると
\(\displaystyle 10.0-1.96\times\frac{4.0}{\sqrt{100}}\leqq m \leqq 10.0+1.96\times\frac{4.0}{\sqrt{100}}\)
\(9.216\leqq m \leqq 10.784\)
よって、
\(9.2\)時間以上\(10.8\)時間以下
2.ある川の魚の体長は母標準偏差が\(2.0\)cmの正規分布に従うことが知られている。この川の魚\(16\)匹を抽出したとき、標本平均が\(8.0\)cmだった。魚の体長を信頼度\(95\)%で区間推定しなさい。
魚の体長を\(m\)とする。
標準偏差\(\sigma=2.0\)、標本の大きさ\(n=16\)、標本平均\(\bar{X}=8.0\)で、\(m\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 8.0-1.96\times\frac{2.0}{\sqrt{16}}\leqq m \leqq 8.0+1.96\times\frac{2.0}{\sqrt{16}}\)
\(7.02\leqq m \leqq 8.98\)
よって、
\(7.0\)cm以上\(9.0\)cm以下
標準偏差\(\sigma=2.0\)、標本の大きさ\(n=16\)、標本平均\(\bar{X}=8.0\)で、\(m\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 8.0-1.96\times\frac{2.0}{\sqrt{16}}\leqq m \leqq 8.0+1.96\times\frac{2.0}{\sqrt{16}}\)
\(7.02\leqq m \leqq 8.98\)
よって、
\(7.0\)cm以上\(9.0\)cm以下
3.ある集団で無作為に\(100\)人抽出したとき、趣味が魚釣りの人が\(10\)人だった。趣味が魚釣りの比率を信頼度\(95\)%で区間推定しなさい。
趣味が魚釣りの場合\(1\)、趣味が魚釣りではない場合\(0\)の値をとる確率変数\(X\)とする。
標本平均\(\bar{X}\)は
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{1\times10}{100}=0.1\)
標本標準偏差\(s\)は
\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1^2\times10}{100}-\left(\frac{10}{100}\right)^2}=0.3\)
\(p\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 0.1-1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{100}}\leqq p \leqq 0.1+1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{100}}\)
\(0.0412\leqq p \leqq 0.1588\)
よって、
\(4\)%以上\(16\)%以下
標本平均\(\bar{X}\)は
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{1\times10}{100}=0.1\)
標本標準偏差\(s\)は
\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1^2\times10}{100}-\left(\frac{10}{100}\right)^2}=0.3\)
\(p\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 0.1-1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{100}}\leqq p \leqq 0.1+1.96\times\frac{0.3}{\sqrt{100}}\)
\(0.0412\leqq p \leqq 0.1588\)
よって、
\(4\)%以上\(16\)%以下
4.フリースローの記録を無作為に\(144\)回分抽出したとき、\(92\)回成功だった。フリースロー成功率を信頼度\(95\)%で区間推定しなさい。
成功の場合\(1\)、失敗の場合\(0\)の値をとる確率変数\(X\)とする。
標本平均\(\bar{X}\)は
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{1\times92}{144}\fallingdotseq0.64\)
標本標準偏差\(s\)は
\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1^2\times92}{144}-\left(\frac{92}{144}\right)^2}\fallingdotseq0.480\)
\(p\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 0.64-1.96\times\frac{0.480}{\sqrt{144}}\leqq p \leqq 0.64+1.96\times\frac{0.480}{\sqrt{144}}\)
\(0.5605\leqq p \leqq 0.7173\)
よって、
\(56\)%以上\(72\)%以下
標本平均\(\bar{X}\)は
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{1\times92}{144}\fallingdotseq0.64\)
標本標準偏差\(s\)は
\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1^2\times92}{144}-\left(\frac{92}{144}\right)^2}\fallingdotseq0.480\)
\(p\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 0.64-1.96\times\frac{0.480}{\sqrt{144}}\leqq p \leqq 0.64+1.96\times\frac{0.480}{\sqrt{144}}\)
\(0.5605\leqq p \leqq 0.7173\)
よって、
\(56\)%以上\(72\)%以下
5.〇×で回答する\(10\)項目のアンケートを実施したところ、〇が平均\(7.0\)個、標準偏差\(1.00\)個だった。無作為に抽出したある都市\(400\)世帯で実施したところ、〇は平均\(6.88\)個だった。
(1)ある都市の結果は全国並みと判断してよいか。有意水準\(5\)%で検定しなさい。
仮説を「結果は全国並みである。」とする。
〇の平均を\(X\)個とおくと、\(X\)は正規分布\(N(7.00,1.00^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(7.00,\frac{1.00^2}{400}\right)\)に従う。
有意水準\(5\)%の棄却域は\(Z\leqq -1.96, 1.96\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 7.00-1.96\times\frac{1.00}{\sqrt{400}},\)
\(\displaystyle \ \ \ 7.00+1.96\times\frac{1.00}{\sqrt{400}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 6.902, 7.098\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=6.88\)は棄却域に入るので、全国並みではないと判断できる。
〇の平均を\(X\)個とおくと、\(X\)は正規分布\(N(7.00,1.00^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(7.00,\frac{1.00^2}{400}\right)\)に従う。
有意水準\(5\)%の棄却域は\(Z\leqq -1.96, 1.96\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 7.00-1.96\times\frac{1.00}{\sqrt{400}},\)
\(\displaystyle \ \ \ 7.00+1.96\times\frac{1.00}{\sqrt{400}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 6.902, 7.098\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=6.88\)は棄却域に入るので、全国並みではないと判断できる。
(2)ある都市の結果は全国並みと判断してよいか。有意水準\(1\)%で検定しなさい。
仮説を「結果は全国並みである。」とする。
〇の平均を\(X\)個とおくと、\(X\)は正規分布\(N(7.00,1.00^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(7.00,\frac{1.00^2}{400}\right)\)に従う。
有意水準\(1\)%の棄却域は\(Z\leqq -2.58, 2.58\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 7.00-2.58\times\frac{1.00}{\sqrt{400}},\)
\(\displaystyle \ \ \ 7.00+2.58\times\frac{1.00}{\sqrt{400}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 6.871, 7.129\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=6.88\)は棄却域に入らないので、全国並みではないとはいえない。
〇の平均を\(X\)個とおくと、\(X\)は正規分布\(N(7.00,1.00^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(7.00,\frac{1.00^2}{400}\right)\)に従う。
有意水準\(1\)%の棄却域は\(Z\leqq -2.58, 2.58\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 7.00-2.58\times\frac{1.00}{\sqrt{400}},\)
\(\displaystyle \ \ \ 7.00+2.58\times\frac{1.00}{\sqrt{400}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 6.871, 7.129\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=6.88\)は棄却域に入らないので、全国並みではないとはいえない。
(3)ある都市の結果が全国より少ないと判断してよいか。有意水準\(1\)%で検定しなさい。
仮説を「結果は全国以上である。」とする。
〇の平均を\(X\)個とおくと、\(X\)は正規分布\(N(7.00,1.00^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(7.00,\frac{1.00^2}{400}\right)\)に従う。
有意水準\(1\)%の棄却域は\(Z\leqq -2.33\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 7.00-2.33\times\frac{1.00}{\sqrt{400}}\)
\(\bar{X}\leqq 6.8835\)
標本平均\(\bar{x}=6.88\)は棄却域に入るので、全国より少ないと判断できる。
〇の平均を\(X\)個とおくと、\(X\)は正規分布\(N(7.00,1.00^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(7.00,\frac{1.00^2}{400}\right)\)に従う。
有意水準\(1\)%の棄却域は\(Z\leqq -2.33\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 7.00-2.33\times\frac{1.00}{\sqrt{400}}\)
\(\bar{X}\leqq 6.8835\)
標本平均\(\bar{x}=6.88\)は棄却域に入るので、全国より少ないと判断できる。
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