2-1-4 二項分布(問題集)

1.\(1\)個のさいころを\(4\)回繰り返し投げるとき、\(2\)以下の目が出る回数を\(X\)とする。\(X\)確率分布を求めなさい。また、\(2\)以下の目が\(3\)回以上出る確率を求めなさい。

\(1\)回の試行で\(2\)以下の目が出る確率は\(\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)で、確率変数\(X\)は二項分布\(\displaystyle B\left(4,\frac{1}{3}\right)\)に従う。
\(2\)以下の目が\(k\)回出る確率は \(\displaystyle P(X=k)={}_4\mathrm{C}_k\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{4-k}\)
よって、\(X\)の確率分布は

\(2\)の目が\(3\)回以上出る確率\(P(X\geqq3)\)は \(\displaystyle P(X\geqq3)=\frac{8}{81}+\frac{1}{81}=\frac{9}{81}=\frac{1}{9}\)

2.あるホテルには\(1\)人用の客室が\(50\)室あり、予約した人が宿泊しない確率は\(5%\)である。\(50\)人が予約したとき、空室が\(1\)室以下で済む確率を求めなさい。ただし、\(0.95^{49}=0.081\)とする。

宿泊する人の数を\(X\)とすると、確率変数\(X\)は二項分布\(\displaystyle B\left(50,0.95\right)\)に従う。
\(\displaystyle P(X=k)={}_{50}\mathrm{C}_k(0.95)^k(0.05)^{50-k}\)
空室が\(1\)室以下であるのは、
\(\displaystyle P(X=49)={}_{50}\mathrm{C}_{49}(0.95)^{49}・0.05\fallingdotseq0.203\)
\(\displaystyle P(X=50)={}_{50}\mathrm{C}_{50}(0.95)^{50}\fallingdotseq0.077\)
よって、求める確率は、
\(0.203+0.077=0.280\)

3.\(1\)個のさいころを\(360\)回投げるとき、\(5\)の目が出る回数\(X\)の平均、分散、標準偏差を求めなさい。

確率変数\(X\)は、二項分布\(\displaystyle B\left(360,\frac{1}{6}\right)\)に従う。

\(X\)の平均\(E(X)\)は、
\(\displaystyle E(X)=360・\frac{1}{6}=60\)(回)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(\displaystyle V(X)=360・\frac{1}{6}・\frac{5}{6}=50\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)(回)

4.打率\(3\)割のバッターがいる。このバッターが\(500\)打席に立つとき、ヒットの本数\(X\)の平均、分散、標準偏差を求めなさい。

確率変数\(X\)は、二項分布\(\displaystyle B\left(500,\frac{3}{10}\right)\)に従う。

\(X\)の平均\(E(X)\)は、
\(\displaystyle E(X)=500・\frac{3}{10}=150\)(本)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(\displaystyle V(X)=500・\frac{3}{10}・\frac{7}{10}=105\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{105}\)(本)