【高校数学B】2-3-1 母集団と標本｜問題集
(1)さいころを\(3\)回投げて出た目を\(X_1,X_2,X_3\)とし、その平均を\(\displaystyle \bar{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\)とする。\(\bar{X}\)の平均\(E(\bar{X})\)、標準偏差\(\sigma(\bar{X})\)を求めなさい。
\(1\)回投げた時の出た目\(X\)の確率分布は
\(X\)の平均\(E(X)\)は
\(E(X)\)
\(\displaystyle =(1+2+3+4+5+6)\times\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は
\(\sigma(X)\)
\(=\sqrt{E(X^2)-{E(X)}^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\times\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{91}{6}-\frac{49}{4}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{35}{12}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{105}}{6}\)
よって、大きさ\(3\)の標本の
標本平均\(E(\bar{X})\)は
\(E(\bar{X})\)=(母平均)=\(\displaystyle \frac{7}{2}\)
標準偏差\(\sigma(\bar{X})\)は
\(\displaystyle \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{35}}{6}\)
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(1\) |
\(E(X)\)
\(\displaystyle =(1+2+3+4+5+6)\times\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は
\(\sigma(X)\)
\(=\sqrt{E(X^2)-{E(X)}^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\times\frac{1}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{91}{6}-\frac{49}{4}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{35}{12}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{105}}{6}\)
よって、大きさ\(3\)の標本の
標本平均\(E(\bar{X})\)は
\(E(\bar{X})\)=(母平均)=\(\displaystyle \frac{7}{2}\)
標準偏差\(\sigma(\bar{X})\)は
\(\displaystyle \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{35}}{6}\)
2.ある畑のじゃがいもは平均\(270\)g、標準偏差\(30\)gの正規分布に従うものとする。無作為に\(36\)個を抽出したとき、その標本平均\(\bar{X}\)が\(264\)g以下である確率を求めなさい。
母集団分布が正規分布\(N(270,30^2)\)であるから、標本平均\(\bar{X}\)は正規分布\(\displaystyle N\left(270,\frac{30^2}{36}\right)\)に従う。
標準化した確率変数\(\displaystyle Z=\frac{\bar{X}-270}{\frac{30}{\sqrt{36}}}=\frac{\bar{X}-270}{5}\)は、標準正規分布\(N(0,1)\)に従う。
\(X=264\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{264-270}{5}=-1.2\)
よって、
\(P(\bar{X}\leqq 264)\)
\(=P(Z\leqq -1.2)\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq 1.2)\)
\(=0.5-0.3849\)
\(=0.1151\)
標準化した確率変数\(\displaystyle Z=\frac{\bar{X}-270}{\frac{30}{\sqrt{36}}}=\frac{\bar{X}-270}{5}\)は、標準正規分布\(N(0,1)\)に従う。
\(X=264\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{264-270}{5}=-1.2\)
よって、
\(P(\bar{X}\leqq 264)\)
\(=P(Z\leqq -1.2)\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq 1.2)\)
\(=0.5-0.3849\)
\(=0.1151\)
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