標本調査
【全数調査と標本調査】
集団に対して統計調査をするとき、集団全体をもれなく調べる方法を全数調査といい、集団の一部から集団全体の性質を推測する方法を標本調査という。多くの場合、統計調査では標本調査が用いられる。標本調査では、調査の対象となる集団全体を母集団といい、要素の個数を母集団の大きさという。
母集団から取り出された集団を標本といい、要素の個数を標本の大きさという。
また、標本を取り出すことを抽出という。
【標本の抽出】
母集団の各要素を等しい確率で抽出する方法を無作為抽出といい、無作為抽出によって選ばれた標本を無作為標本という。母集団から標本を抽出するたびに要素を元に戻し、改めて標本を抽出する方法を復元抽出といい、一度取り出した要素を元に戻さないで標本を抽出する方法をを非復元抽出という。
標本平均
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(2\)枚の硬貨を投げて表の出た枚数を記録することを\(4\)回繰り返す。この\(4\)回の試行の表が出た枚数を\(X_1,X_2,X_3,X_4\)とし、その平均を\(\displaystyle \bar{X}=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}\)とする。\(\bar{X}\)の平均\(E(\bar{X})\)、標準偏差\(\sigma(\bar{X})\)を求めなさい。
\(2\)枚の硬貨を投げて表の出た枚数\(X\)の確率分布は
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{4}\) | \(\displaystyle \frac{2}{4}\) | \(\displaystyle \frac{1}{4}\) | \(1\) |
\(X\)の平均\(E(X)\)は
\(E(X)\)
\(\displaystyle =0\times\frac{1}{4}+1\times\frac{2}{4}+2\times\frac{1}{4}\)
\(=1\)(枚)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は
\(\sigma(X)\)
\(=\sqrt{E(X^2)-{E(X)}^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{0^2\times\frac{1}{4}+1^2\times\frac{2}{4}+2^2\times\frac{1}{4}-1^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{4}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\)(枚)
よって、大きさ\(4\)の標本の
標本平均\(E(\bar{X})\)は
\(E(\bar{X})\)=(母平均)=\(1\)(枚)
標準偏差\(\sigma(\bar{X})\)は
\(\displaystyle \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)(枚)
(2)ある集団の身長の平均が\(158cm\)、標準偏差\(5cm\)の正規分布に従うものとする。無作為に\(25\)人を抽出したとき、その標本平均\(\bar{X}\)が\(160cm\)以上である確率を求めなさい。
母集団分布が正規分布\(N(158,5^2)\)であるから、標本平均\(\bar{X}\)は正規分布\(\displaystyle N\left(158,\frac{5^2}{25}\right)\)に従う。
標準化した確率変数\(\displaystyle Z=\frac{\bar{X}-158}{\frac{5}{\sqrt{25}}}=\bar{X}-158\)は、標準正規分布\(N(0,1)\)に従う。
\(X=160\)のとき、\(\displaystyle Z=160-158=2\)
よって、
\(P(\bar{X}\geqq 2)\)
\(=P(Z\geqq 2)\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq 2)\)
\(=0.5-0.4772\)
\(=0.0228\)