【高校数学B】2-3-1 母集団と標本｜要点まとめ
このページでは、高校数学Bの「母集団と標本」について整理しています。母集団と標本の違い、標本調査の目的、標本平均の考え方をわかりやすくまとめています。統計の基礎を理解し、母平均の推定につながる考え方を身につけましょう。
母集団と標本の基本概念
【全数調査と標本調査】
集団に対して統計調査をするとき、集団全体をもれなく調べる方法を全数調査といい、集団の一部から集団全体の性質を推測する方法を標本調査という。多くの場合、統計調査では標本調査が用いられる。
標本調査では、調査の対象となる集団全体を母集団といい、要素の個数を母集団の大きさという。
母集団から取り出された集団を標本といい、要素の個数を標本の大きさという。
また、標本を取り出すことを抽出という。
【標本の抽出】
母集団の各要素を等しい確率で抽出する方法を無作為抽出といい、無作為抽出によって選ばれた標本を無作為標本という。
母集団から標本を抽出するたびに要素を元に戻し、改めて標本を抽出する方法を復元抽出といい、一度取り出した要素を元に戻さないで標本を抽出する方法をを非復元抽出という。
標本平均と母平均の関係
【標本平均と母平均】
標本について計算した平均を標本平均といい、標準偏差を標本標準偏差という。
母集団についての平均を母平均といい、標準偏差を母標準偏差という。
母集団から無作為抽出した大きさ\(n\)の標本の値を\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)としたとき、標本平均\(\bar{X}\)は
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\)
【標本平均\(\bar{X}\)の分布】
母平均\(m\)、母標準偏差\(\sigma\)の母集団から大きさ\(n\)の標本を復元抽出するとき、標本平均\(\bar{X}\)の平均\(E(\bar{X})\)、標準偏差\(\sigma(\bar{X})\)は
\(\displaystyle E(\bar{X})=m\)
\(\displaystyle \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
また、\(n\)が十分大きければ、標本平均\(\bar{X}\)の分布は、正規分布\(\displaystyle N\left(m,\frac{\sigma^2}{n}\right)\)で近似できる。
標本平均\(\bar{X}\)を標準化した確率変数\(\displaystyle Z=\frac{\bar{X}-m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)は、近似的に標準正規分布\(N(0,1)\)に従う。
【例題】次の問いに答えなさい。
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{4}\) | \(\displaystyle \frac{2}{4}\) | \(\displaystyle \frac{1}{4}\) | \(1\) |
\(E(X)\)
\(\displaystyle =0\times\frac{1}{4}+1\times\frac{2}{4}+2\times\frac{1}{4}\)
\(=1\)(枚)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は
\(\sigma(X)\)
\(=\sqrt{E(X^2)-{E(X)}^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{0^2\times\frac{1}{4}+1^2\times\frac{2}{4}+2^2\times\frac{1}{4}-1^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{4}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\)(枚)
よって、大きさ\(4\)の標本の
標本平均\(E(\bar{X})\)は
\(E(\bar{X})\)=(母平均)=\(1\)(枚)
標準偏差\(\sigma(\bar{X})\)は
\(\displaystyle \sigma(\bar{X})=\frac{\sigma(X)}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)(枚)
標準化した確率変数\(\displaystyle Z=\frac{\bar{X}-158}{\frac{5}{\sqrt{25}}}=\bar{X}-158\)は、標準正規分布\(N(0,1)\)に従う。
\(X=160\)のとき、\(\displaystyle Z=160-158=2\)
よって、
\(P(\bar{X}\geqq 160)\)
\(=P(Z\geqq 2)\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq 2)\)
\(=0.5-0.4772\)
\(=0.0228\)