2-2-2 正規分布(問題集)

1.次の正規分布表を見て答えなさい。

\(z_0\)	\(.00\)	\(.03\)	\(.05\)	\(.06\)	\(.07\)	\(.08\)
\(0.2\)	\(\tiny 0.0793\)	\(\tiny 0.0910\)	\(\tiny 0.0987\)	\(\tiny 0.1026\)	\(\tiny 0.1064\)	\(\tiny 0.1103\)
\(0.5\)	\(\tiny 0.1915\)	\(\tiny 0.2109\)	\(\tiny 0.2088\)	\(\tiny 0.2123\)	\(\tiny 0.2157\)	\(\tiny 0.2190\)
\(0.8\)	\(\tiny 0.2881\)	\(\tiny 0.2967\)	\(\tiny 0.3023\)	\(\tiny 0.3051\)	\(\tiny 0.3078\)	\(\tiny 0.3106\)
\(1.0\)	\(\tiny 0.3413\)	\(\tiny 0.3485\)	\(\tiny 0.3531\)	\(\tiny 0.3554\)	\(\tiny 0.3577\)	\(\tiny 0.3599\)
\(1.2\)	\(\tiny 0.3849\)	\(\tiny 0.3907\)	\(\tiny 0.3944\)	\(\tiny 0.3962\)	\(\tiny 0.3980\)	\(\tiny 0.3997\)
\(1.6\)	\(\tiny 0.4452\)	\(\tiny 0.4484\)	\(\tiny 0.4505\)	\(\tiny 0.4515\)	\(\tiny 0.4525\)	\(\tiny 0.4535\)
\(1.9\)	\(\tiny 0.4713\)	\(\tiny 0.4732\)	\(\tiny 0.4744\)	\(\tiny 0.4750\)	\(\tiny 0.4756\)	\(\tiny 0.4761\)
\(2.0\)	\(\tiny 0.4772\)	\(\tiny 0.4788\)	\(\tiny 0.4798\)	\(\tiny 0.4803\)	\(\tiny 0.4808\)	\(\tiny 0.4812\)
\(2.3\)	\(\tiny 0.4893\)	\(\tiny 0.4901\)	\(\tiny 0.4906\)	\(\tiny 0.4909\)	\(\tiny 0.4911\)	\(\tiny 0.4913\)
\(2.5\)	\(\tiny 0.4938\)	\(\tiny 0.4943\)	\(\tiny 0.4946\)	\(\tiny 0.4948\)	\(\tiny 0.4949\)	\(\tiny 0.4951\)

(1)確率変数\(Z\)が標準正規分布\(N(0,1)\)に従うとき、次の確率を求めなさい。

①\(P(-1\leqq Z\leqq 1)\)

\(=2\times P(0\leqq Z\leqq 1)\)
\(=2\times 0.3413\)
\(=0.6826\)

②\(P(Z\geqq -0.5)\)

\(=P(-0.5\leqq Z\leqq 0)+P(Z\geqq 0)\)
\(=P(0\leqq Z\leqq 0.5)+P(Z\geqq 0)\)
\(=0.1915+0.5\)
\(=0.6915\)

(2)確率変数\(X\)が正規分布\(N(1,4^2)\)に従うとき、\(P(2\leqq X\leqq 9)\)を求めなさい。

\(\displaystyle Z=\frac{X-1}{4}\)とおくと、確率変数\(Z\)は\(N(0,1)\)に従う。
\(X=2\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{2-1}{4}=0.25\)
\(X=9\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{9-1}{4}=2\)
よって、
\(P(2\leqq X\leqq 9)\)
\(=P(0.25\leqq Z\leqq 2)\)
\(=P(0\leqq Z\leqq 2)-P(0\leqq Z\leqq 0.25)\)
\(=0.4772-0.0987\)
\(=0.3785\)

(3)昆虫\(100\)匹の体長平均が\(19.6mm\)、標準偏差が\(0.5mm\)のとき、\(20mm\)以上はおよそ何匹か求めなさい。

体長を\(Xmm\)とおくと、\(X\)は\(N(19.6,0.5^2)\)に従う。
\(\displaystyle Z=\frac{X-19.6}{0.5}\)とおくと、確率変数\(Z\)は\(N(0,1)\)に従う。
\(X=20\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{20-19.6}{0.5}=0.8\)
よって、
\(P(X\geqq 20)\)
\(=P(Z\geqq 0.8)\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq 0.8)\)
\(=0.5-0.2881\)
\(=0.2119\)
\(20mm\)以上の昆虫は
\(100\times0.2119=21.19\)
よって、約\(21\)匹

2.成功率が\(96%\)である。これを\(150\)回試行したとき、成功が\(140\)回以下になる確率を求めなさい。

成功回数を\(X\)とすると、\(X\)は二項分布\(\displaystyle B\left(150,\frac{24}{25}\right)\)に従う。
平均\(\displaystyle m=150・\frac{24}{25}=144\)回
標準偏差\(\displaystyle \sigma=\sqrt{150・\frac{24}{25}\left(1-\frac{24}{25}\right)}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}\)回
\(150\)は十分大きいので、\(X\)は正規分布\(N(144,2.4^2)\)に従うとみなしてよい。
\(\displaystyle Z=\frac{X-144}{2.4}\)とおくと、確率変数\(Z\)は\(N(0,1)\)に従う。
\(X=140\)のとき、\(\displaystyle Z=\frac{140-144}{2.4}≒-1.67\)
よって、
\(P(X\leqq 140)\)
\(=P(Z\leqq -1.67)\)
\(=P(Z\geqq 0)-P(0\leqq Z\leqq1.67)\)
\(=0.5-0.4525\)
\(=0.0475\)