1.次のような賞金がついている\(30\)本のくじがある。このくじを\(1\)本引くときの賞金の期待値を求めなさい。
賞金 | 本数 | |
\(1\)等 | \(10000\)円 | \(1\)本 |
\(2\)等 | \(1000\)円 | \(4\)本 |
\(3\)等 | \(100\)円 | \(25\)本 |
確率変数\(X\)の確率分布は以下のようになる。
\(X\) | \(10000\) | \(1000\) | \(100\) | 計 |
\(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{30}\) | \(\displaystyle \frac{4}{30}\) | \(\displaystyle \frac{25}{30}\) | \(1\) |
よって、賞金の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =10000・\frac{1}{30}+1000・\frac{4}{30}+100・\frac{25}{30}\)
\(\displaystyle =550\)
2.赤玉\(6\)個と白玉\(3\)個が入っている袋から\(3\)個の玉を取り出すとき、取り出した赤玉の個数\(X\)の期待値、分散、標準偏差を求めなさい。
\(X\)のとり得る値は\(0,1,2,3\)なので、
\(\displaystyle P(X=0)=\frac{{}_3\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{1}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{1}{84}\)
\(\displaystyle P(X=1)=\frac{{}_6\mathrm{C}_1・{}_3\mathrm{C}_2}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{6・\frac{3・2}{2・1}}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{18}{84}\)
\(\displaystyle P(X=2)=\frac{{}_6\mathrm{C}_2・{}_3\mathrm{C}_1}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{\frac{6・5}{2・1}・3}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{45}{84}\)
\(\displaystyle P(X=3)=\frac{{}_6\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{\frac{6・5・4}{3・2・1}}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{20}{84}\)
\(X\)の確率分布は以下のようになる。
\(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | 計 |
\(P\) | \(\displaystyle \frac{1}{84}\) | \(\displaystyle \frac{18}{84}\) | \(\displaystyle \frac{45}{84}\) | \(\displaystyle \frac{20}{84}\) | \(1\) |
期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =0・\frac{1}{84}+1・\frac{18}{84}+2・\frac{45}{84}+3・\frac{20}{84}\)
\(\displaystyle =\frac{0}{84}+\frac{18}{84}+\frac{90}{84}+\frac{60}{84}\)
\(\displaystyle =2\)
分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0^2・\frac{1}{84}+1^2・\frac{18}{84}+2^2・\frac{45}{84}+3^2・\frac{20}{84}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{0}{84}+\frac{18}{84}+\frac{180}{84}+\frac{180}{84}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\)
標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{2}}{2}\)
3.\(1\)枚の硬貨を\(4\)回投げるときの表が出た回数を\(X\)とする。確率変数\(X\)の期待値、分散、標準偏差を求めなさい。また、\(Y=3X+2\)で定められる確率変数\(Y\)の期待値、分散、標準偏差を求めなさい。
\(X\)の期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =0・\frac{1}{16}+1・\frac{4}{16}+2・\frac{6}{16}+3・\frac{4}{16}+4・\frac{1}{16}\)
\(\displaystyle =\frac{32}{16}\)
\(\displaystyle =2\)
\(X\)の分散\(V(X)\)は、
\(\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0^2・\frac{1}{16}+1^2・\frac{4}{16}+2^2・\frac{6}{16}+3^2・\frac{4}{16}+4^2・\frac{1}{16}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{80}{16}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1\)
\(X\)の標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1\)
\(Y\)の期待値\(E(Y)\)は、
\(\displaystyle E(Y)=E(3X+2)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3E(X)+2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3・2+2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =8\)
\(Y\)の分散\(V(Y)\)は、
\(\displaystyle V(Y)=V(3X+2)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3^2V(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9・1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9\)
\(Y\)の分散\(\sigma(Y)\)は、
\(\displaystyle \sigma(Y)=\sigma(3X+2)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =|3|\sigma(X)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3・1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3\)