\(X\)のとり得る値は\(0,1,2,3\)なので、
\(\displaystyle P(X=0)=\frac{{}_3\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{1}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{1}{84}\)
\(\displaystyle P(X=1)=\frac{{}_6\mathrm{C}_1・{}_3\mathrm{C}_2}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{6・\frac{3・2}{2・1}}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{18}{84}\)
\(\displaystyle P(X=2)=\frac{{}_6\mathrm{C}_2・{}_3\mathrm{C}_1}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{\frac{6・5}{2・1}・3}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{45}{84}\)
\(\displaystyle P(X=3)=\frac{{}_6\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_3}=\frac{\frac{6・5・4}{3・2・1}}{\frac{9・8・7}{3・2・1}}=\frac{20}{84}\)
\(X\)の確率分布は以下のようになる。
確率分布
| \(X\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
計 |
| \(P\) |
\(\displaystyle \frac{1}{84}\) |
\(\displaystyle \frac{18}{84}\) |
\(\displaystyle \frac{45}{84}\) |
\(\displaystyle \frac{20}{84}\) |
\(1\) |
期待値\(E(X)\)は、
\(E(X)\)
\(\displaystyle =0・\frac{1}{84}+1・\frac{18}{84}+2・\frac{45}{84}+3・\frac{20}{84}\)
\(\displaystyle =\frac{0}{84}+\frac{18}{84}+\frac{90}{84}+\frac{60}{84}\)
\(\displaystyle =2\)
分散\(V(X)\)は、
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0^2・\frac{1}{84}+1^2・\frac{18}{84}+2^2・\frac{45}{84}+3^2・\frac{20}{84}-2^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{0}{84}+\frac{18}{84}+\frac{180}{84}+\frac{180}{84}-4\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\)
標準偏差\(\sigma(X)\)は、
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{2}}{2}\)
