連続型確率変数
【連続型確率変数】
次の資料は\(40\)人の身長について調べたものである。この\(40\)人の中から\(1\)人を選び、その身長を\(Xcm\)とする。| 階級(cm) | 階級値(cm) | 度数(人) | 相対度数 |
| 137.5 | 2 | 0.05 | |
| 140∼145 | 142.5 | 3 | 0.075 |
| 145∼150 | 147.5 | 4 | 0.1 |
| 150∼155 | 152.5 | 5 | 0.125 |
| 155∼160 | 157.5 | 10 | 0.25 |
| 160∼165 | 162.5 | 8 | 0.2 |
| 165∼170 | 167.5 | 5 | 0.125 |
| 170∼175 | 172.5 | 3 | 0.075 |
| 合計 | 40 | 1 |
\(X\)の属する階級の階級値が\(147.5\)となる確率は\(145\leqq X<150\)となる確率\(P(145\leqq X<150)\)に等しい。 これは階級\(145～150\)の相対度数\(0.1\)と一致する。 つまり、\(X\)は\(X\)の属する階級の階級値となる確率変数といえる。
各階級の相対度数を長方形の面積で表したヒストグラムで、各長方形の面積の和は\(1\)である。 連続した値を取る確率変数\(X\)を連続型確率変数という。
このような連続型確率変数\(X\)の確率分布を考える場合、\(1\)つの曲線\(y=f(x)\)を対応させ、\(a\leqq X\leqq b\)となる確率\(P(a\leqq X\leqq b)\)がグレー部分の面積で表されるようにする。
このとき、関数\(f(x)\)を\(X\)の確率密度関数といい、曲線\(y=f(x)\)を\(X\)の分布曲線という。
確率密度関数\(f(x)\)は次のような性質をもつ。
・\(\displaystyle f(x)\geqq 0\)
・\(\displaystyle P(a\leqq X\leqq b)=\int_a^b f(x)dx\)
・\(\alpha\leqq X\leqq\beta\)のとき、\(\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)dx=1\)
【例題】確率変数\(X\)のとり得る値\(x\)の範囲が\(0\leqq x\leqq 1\)で、その確率密度関数が\(f(x)=2x(0\leqq x\leqq 1)\)で表されるとき、確率\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\leqq X\leqq 1\right)\)を求めなさい。
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\leqq X\leqq 1\right)=\int_{\frac{1}{2}}^1 2xdx=\frac{3}{4}\)