【高校数学B】1-2-2 階差数列｜問題集

この数列の階差数列は
\(1,2,3,4,\cdots\)
初項\(1\)、公差\(1\)の等差数列なので、
\(b_n=1+1(n-1)\)
\(\ \ \ \ =n\)
したがって、\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}k\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+\frac{1}{2}n(n-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+1\)
\(a_1=1\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+1\)

この数列の階差数列は
\(1,2,4,8,\cdots\)
初項\(1\)、公比\(2\)の等比数列なので、
\(b_n=1・2^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =2^{n-1}\)
したがって、\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =2+\frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1}\)
\(\ \ \ \ =2^{n-1}+1\)
\(a_1=2\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=2^{n-1}+1\)

この数列の階差数列は
\(1,-2,4,-8,16,\cdots\)
初項\(1\)、公比\(-2\)の等比数列なので、
\(b_n=1・(-2)^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =(-2)^{n-1}\)
したがって、\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(-2)^{k-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =1+\frac{1\{1-(-2)^{n-1}\}}{1-(-2)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(-2)^{n-1}\)
\(a_1=1\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(\displaystyle a_n=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(-2)^{n-1}\)

この数列の階差数列は
\(1,3,5,7,\cdots\)
初項\(1\)、公差\(2\)の等差数列なので、
\(b_n=1+2(n-1)\)
\(\ \ \ \ =2n-1\)
したがって、\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =2+2・\frac{1}{2}n(n-1)-(n-1)\)
\(\ \ \ \ =2+n^2-n-n+1\)
\(\ \ \ \ =n^2-2n+3\)
\(a_1=2\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=n^2-2n+3\)

また、数列の和は
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}(k^2-2k+3)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-2・\frac{1}{2}n(n+1)+3n\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(2n^2+3n+1-6n-6+18)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}n(2n^2-3n+13)\)

この数列の階差数列は
\(50,500,5000,50000,\cdots\)
初項\(50\)、公比\(10\)の等比数列なので、
\(b_n=50・10^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =5・10^n\)
したがって、\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=5+\sum_{k=1}^{n-1}5・10^k\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =5+\frac{50(10^{n-1}-1)}{10-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =5+\frac{50}{9}10^{n-1}-\frac{50}{9}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{5}{9}(10^n-1)\)
\(a_1=5\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(\displaystyle a_n=\frac{5}{9}(10^n-1)\)

また、数列の和は
\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{5}{9}(10^k-1)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{9}\left\{\frac{10(10^n-1)}{10-1}-n\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{5}{81}(10^{n+1}-9n-10)\)

\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=(n^2-n)-\{(n-1)^2-(n-1)\}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =n^2-n-n^2+2n-1+n-1\)
\(\ \ \ \ =2n-2\)
\(\ \ \ \ =2(n-1)\)
\(a_1=0,S_1=0\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=2(n-1)\)

\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=(n^2-n+2)-\{(n-1)^2-(n-1)+2\}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =n^2-n+2-n^2+2n-1+n-1-2\)
\(\ \ \ \ =2n-2\)
\(\ \ \ \ =2(n-1)\)
\(a_1=0,S_1=2\)なので、\(n=1\)のときは成り立たない。
よって、
\(n\geqq2\)のとき、\(a_n=2(n-1)\)
\(n=1\)のとき、\(a_n=2\)

\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=(2n^2+7n)-\{2(n-1)^2+7(n-1)\}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =2n^2+7n-2n^2+4n-2-7n+7\)
\(\ \ \ \ =4n+5\)
\(a_1=9,S_1=9\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=4n+5\)

\(n\geqq2\)のとき、\(a_n=S_n-S_{n-1}\)なので、
\(S_n=(S_n-S_{n-1})+n^2-n\)
\(S_{n-1}=n^2-n\)
\(n-1\)を\(n\)に置き換えると、
\(S_n=(n+1)^2-(n+1)\)
\(\ \ \ \ =n^2+n\)
よって、
\(a_n=2n\)