【高校数学B】1-1-5 等比数列の和｜問題集

\(\displaystyle S_n=\frac{4\{1-(\frac{1}{2})^n\}}{1-\frac{1}{2}}\)
\(\ \ \ \ =8(1-2^{-n})\)

\(\displaystyle S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}\)
\(\ \ \ \ =3^n-1\)

\(\displaystyle S_n=\frac{3\{1-(-2)^n\}}{1-(-2)}\)
\(\ \ \ \ =1-(-2)^n\)

\(\displaystyle S_n=\frac{12\{1-(\frac{1}{3})^n\}}{1-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =18\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}\)

(1)\(x\neq1\)のとき、
\(\displaystyle S_n=\frac{2\{x^n-1\}}{x-1}\)
(2)\(x=1\)のとき、
\(S_n=2n\)

\(\displaystyle S_n=\frac{1\{1-(-3)^n\}}{1-(-3)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{1}{4}\{1-(-3)^n\}\)

初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(a_2=ar=8\)
\(a_5=ar^4=1\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=16,d=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{16\{1-(\frac{1}{2})^n\}}{1-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =32\left(1-2^{-n}\right)\)

初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(a+ar+ar^2=7\)
\(ar^2+ar^3+ar^4=28\)
これを解くと、
\(a=1,r=2\)
\(\displaystyle a=\frac{7}{3},r=-2\)
よって、
\(S_n=2^n-1\)
\(\displaystyle S_n=\frac{7}{6}\{1-(-2)^n\}\)

初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(a+ar+ar^2=3\)
\(ar^3+ar^4+ar^5=24\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=\frac{3}{7},r=2\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{3}{7}(2^n-1)\)

初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(\displaystyle S_{4}=\frac{5(2^4-1)}{2-1}=75\)
\(\displaystyle S_{10}=\frac{5(2^{10}-1)}{2-1}=5115\)
よって、
\(S_{10}-S_{4}\)
\(=5115-75\)
\(=5040\)

初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{ar}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \frac{1}{ar^2}+\frac{1}{ar^3}=\frac{2}{27}\)
\(\displaystyle \frac{1}{r^2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{ar}\right)=\frac{2}{27}\)
\(\displaystyle \frac{1}{r^2}・\frac{1}{3}=\frac{2}{27}\)
\(r^2=9\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{b_5}+\frac{1}{b_6}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{ar^4}+\frac{1}{ar^5}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{r^4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{ar}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{9^2}・\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{243}\)