【高校数学B】1-3-2 数学的帰納法｜要点まとめ

(1)\(n=1\)のとき、
(左辺)\(=1\)
(右辺)\(=2^1-1=1\)
よって、等式は成り立つ。

(2)\(n=k\)のとき、
\(\displaystyle 1+2+2^2+2^3+・・・+2^{k-1}=2^k-1\)
が成り立つとする。
\(n=k+1\)のとき、
(左辺)\(\displaystyle =1+2+2^2+2^3+・・・+2^{k-1}+2^k\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =2^k-1+2^k\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =2^{k+1}-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\)(右辺)
よって、\(n=k+1\)のとき、等式は成り立つ。

(1)、(2)より、等式は全ての自然数\(n\)について成り立つ。

(1)\(n=2\)のとき、
(左辺)\(=2^2=4\)
(右辺)\(=2+1=3\)
よって、不等式は成り立つ。

(2)\(n=k\)のとき、
\(\displaystyle 2^k>k+1\)
が成り立つとする。
\(n=k+1\)のとき、
(左辺\(-\)右辺)\(\displaystyle =2^{k+1}-(k+1+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・2^k-(k+2)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ >2(k+1)-(k+2)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2k+2-k-2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =k\)
\(k\geqq 2\)より、
\(\displaystyle 2^{k+1}>(k+1)+1\)
よって、\(n=k+1\)のとき、不等式は成り立つ。

(1)、(2)より、不等式は\(2\)以上の自然数について成り立つ。

(1)\(n=1\)のとき、
\(=1^3+2・1=3\)
よって、\(3\)の倍数となる。

(2)\(n=k\)のとき、\(m\)を整数とすると、
\(\displaystyle k^3+2k=3m\)
\(n=k+1\)のとき、
\(\displaystyle (k+1)^3+2(k+1)\)
\(\displaystyle =k^3+3k^2+3k+1+2k+2\)
\(\displaystyle =k^3+2k+3k^2+3k+3\)
\(\displaystyle =3m+3(k^2+k+1)\)
\(\displaystyle =3(m+k^2+k+1)\)
よって、\(n=k+1\)のとき、\(3\)の倍数となる。

(1)、(2)より、全ての自然数\(n\)について、\(3\)の倍数となる。

条件より、
\(a_1=1\)
\(a_2=4・1-1=3\)
\(a_3=4・2-3=5\)
\(a_4=4・3-5=7\)
一般項は
\(a_n=2n-1\)

(1)\(n=1\)のとき、
\(a_1=2・1-1=1\)
よって、成り立つ。

(2)\(n=k\)のとき、
\(\displaystyle a_k=2k-1\)
が成り立つとする。
\(n=k+1\)のとき、
\(\displaystyle a_{k+1}=4k-(2k-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ =2k+1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ =2(k+1)-1\)
よって、\(n=k+1\)のとき、成り立つ。

(1)、(2)より、全ての自然数\(n\)について成り立つ。