1.\(1\)から\(10\)までの数を書いた\(10\)枚の札から\(1\)枚の札を引くとき、その札に書かれている数が\(2\)の倍数なら\(2\)点、\(2\)の倍数でなければ\(0\)点とする。この得点を\(X\)とする。また、\(3\)の倍数なら\(3\)点、\(3\)の倍数でなければ\(0\)点とする。この得点を\(Y\)とする。このとき、\(X\),\(Y\),\(X+Y\)の期待値を求めなさい。
確率変数\(X\),\(Y\)の確率分布は以下のようになる。
| \(X\) | \(0\) | \(2\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{5}{10}\) | \(\displaystyle \frac{5}{10}\) | \(1\) |
| \(Y\) | \(0\) | \(3\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{7}{10}\) | \(\displaystyle \frac{3}{10}\) | \(1\) |
\(\displaystyle E(X)=0・\frac{5}{10}+2・\frac{5}{10}=1\)
\(\displaystyle E(Y)=0・\frac{7}{10}+3・\frac{3}{10}=\frac{9}{10}\)
\(\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\frac{19}{10}\)
2.\(2\)つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立で、それぞれの確率分布が次のように与えられたとき、\(XY\)の期待値を求めなさい。
| \(X\) | \(1\) | \(3\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) | \(1\) |
| \(Y\) | \(2\) | \(4\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{4}{5}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(1\) |
\(\displaystyle E(X)=1・\frac{2}{3}+3・\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\)
\(\displaystyle E(Y)=2・\frac{4}{5}+4・\frac{1}{5}=\frac{12}{5}\)
\(X,Y\)は互いに独立であるから、
\(\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{5}{3}・\frac{12}{5}=4\)
3.\(2\)つの確率変数\(X,Y\)が互いに独立で、それぞれの確率分布が次のように与えられたとき、\(X+Y\)の分散、標準偏差を求めなさい。
| \(X\) | \(1\) | \(3\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) | \(1\) |
| \(Y\) | \(2\) | \(4\) | 計 |
| \(P\) | \(\displaystyle \frac{4}{5}\) | \(\displaystyle \frac{1}{5}\) | \(1\) |
\(\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=1^2・\frac{2}{3}+3^2・\frac{1}{3}-\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{8}{9}\)
\(\displaystyle V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y)\}^2=2^2・\frac{4}{5}+4^2・\frac{1}{5}-\left(\frac{12}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)
\(X,Y\)は互いに独立であるから、
\(\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\frac{8}{9}+\frac{16}{25}=\frac{344}{225}\)
\(\displaystyle \sigma(X+Y)=\sqrt{V(X+Y)}=\sqrt{\frac{344}{225}}=\frac{2\sqrt{86}}{15}\)