2-3-2 推定(要点)

【母平均の推定】

母集団の分布がもっている定数が未知のとき、与えられた標本から値を推測する方法を推定という。
正規分布表より、\(P(-1.96\leqq Z\leqq 1.96)=0.95\)であり、確率\(0.95\)の母平均\(m\)は以下が成り立つ。

\(\displaystyle \bar{x}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m \leqq \bar{x}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

これを母平均\(m\)に対する信頼度\(95\%\)の信頼区間という。

【例題】ある田の稲穂\(100\)本を調べたところ、\(1\)穂当たりの平均粒数が\(71.7\)粒、標準偏差が\(19.4\)粒だった。この田の稲の\(1\)穂当たりの平均粒数を信頼度\(95\%\)で区間推定しなさい。

平均粒数を\(m\)とする。
標準偏差\(\sigma=19.4\)、標本の大きさ\(n=100\)、標本平均\(\bar{X}=71.7\)で、\(m\)に対する信頼度\(95\%\)の信頼区間は
\(\displaystyle 71.7-1.96\times\frac{19.4}{\sqrt{100}}\leqq m \leqq 71.7+1.96\times\frac{19.4}{\sqrt{100}}\)
\(67.9\leqq m \leqq 75.5\)
よって、
\(67.9\)粒以上\(75.5\)粒以下

【母比率の推定】

母集団全体に対する比率を母比率といい、標本全体に対する比率を標本比率という。
正規分布表より、\(P(-1.96\leqq Z\leqq 1.96)=0.95\)であり、確率\(0.95\)の母比率\(p\)は以下が成り立つ。

\(\displaystyle \bar{p}-1.96\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\leqq p \leqq \bar{p}+1.96\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)

これを母比率\(p\)に対する信頼度\(95\%\)の信頼区間という。

【例題】ある市の全世帯から\(400\)世帯を任意抽出して、ある政策に対する賛否を調べたところ、\(273\)世帯が賛成だった。全世帯における賛成の母比率\(p\)を信頼度\(95\%\)で区間推定しなさい。

賛成の場合\(1\)、反対の場合\(0\)の値をとる確率変数\(X\)とする。
標本平均\(\bar{X}\)は
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{1\times273}{400}\fallingdotseq0.683\)
標本標準偏差\(s\)は
\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1^2\times273}{400}-\left(\frac{273}{400}\right)^2}\fallingdotseq0.466\)
\(p\)に対する信頼度\(95\%\)の信頼区間は
\(\displaystyle 0.683-1.96\times\frac{0.466}{\sqrt{400}}\leqq m \leqq 0.683+1.96\times\frac{0.466}{\sqrt{400}}\)
\(0.637\leqq m \leqq 0.729\)
よって、
\(63\%\)以上\(72\%\)以下

【仮説検定】

得られたデータを元に仮説を立て、成り立っているか判断することを仮説検定という。
仮説検定であらかじめ定めておく、めったに起こらないと判断する確率を有意水準といい、\(5\%\)または\(1\%\)とすることが多い。
仮説で棄却される範囲を棄却域という。

【両側検定と片側検定】

棄却域(グレー部分)を分布の両側に設定する検定を両側検定という。 有意水準\(5\%\)の両側検定 有意水準\(1\%\)の両側検定 棄却域(グレー部分)を分布の片側に設定する検定を片側検定という。 有意水準\(5\%\)の片側検定 有意水準\(1\%\)の片側検定

【仮説検定の手順】

(1)めったに起こらない事象\(A\)が起こった場合、対立仮説\(H_1\)を立てる。
(2)\(H_1\)を否定する帰無仮説\(H_0\)を立てる。
(3)有意水準\(p_0\)をあらかじめ定め、仮説\(H_0\)から棄却域を求める。
(4)標本から得られた確率変数が棄却域に入るか調べて、仮説\(H_0\)が棄却できるかどうか判断する。

【例題】ある工場で作られているバターの内容量は、平均\(300g\)、標準偏差\(5.5g\)の正規分布に従っている。\(100\)個のバターを無作為に選ぶと、内容量の平均が\(298.7g\)だった。

(1)バターは正常に作られていると判断してよいか。有意水準\(5\%\)で検定しなさい。

仮説を「バターは正常に作られている。」とする。
バターの内容量を\(Xg\)とおくと、\(X\)は正規分布\(N(300,5.5^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(300,\frac{5.5^2}{100}\right)\)に従う。
有意水準\(5\%\)の棄却域は\(Z\leqq -1.96, 1.96\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 300-1.96\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}, 300+1.96\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 298.922, 301.078\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=298.7\)は棄却域に入るので、正常に作られていないと判断できる。

(2)バターは正常に作られていると判断してよいか。有意水準\(1\%\)で検定しなさい。

仮説を「バターは正常に作られている。」とする。
バターの内容量を\(Xg\)とおくと、\(X\)は正規分布\(N(300,5.5^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(300,\frac{5.5^2}{100}\right)\)に従う。
有意水準\(1\%\)の棄却域は\(Z\leqq -2.58, 2.58\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 300-2.58\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}, 300+2.58\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 298.581, 301.419\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=298.7\)は棄却域に入らないので、正常に作られていないとはいえない。

(3)バターの内容量は\(300g\)より少ないと判断してよいか。有意水準\(1\%\)で検定しなさい。

仮説を「バターは\(300g\)以上である。」とする。
バターの内容量を\(Xg\)とおくと、\(X\)は正規分布\(N(300,5.5^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(300,\frac{5.5^2}{100}\right)\)に従う。
有意水準\(1\%\)の棄却域は\(Z\leqq -2.33\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 300-2.33\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}\)
\(\bar{X}\leqq 298.7185\)
標本平均\(\bar{x}=298.7\)は棄却域に入るので、バターは\(300g\)より少ないと判断できる。