【高校数学B】2-3-2 推定｜要点まとめ
このページでは、高校数学Bの「推定」について整理しています。母平均や母比率の推定方法、仮説検定の考え方をわかりやすく解説し、統計の基礎を確実に理解できます。定期テストや大学入試の問題にも対応できる力を身につけましょう。
母平均の推定：標本平均と信頼区間
【母平均の推定】
母集団の分布がもっている定数が未知のとき、与えられた標本から値を推測する方法を推定という。
正規分布表より、\(P(-1.96\leqq Z\leqq 1.96)=0.95\)であり、確率\(0.95\)の母平均\(m\)は以下が成り立つ。
\(\displaystyle \bar{x}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m \leqq \bar{x}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
これを母平均\(m\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間という。
【例題】ある田の稲穂\(100\)本を調べたところ、\(1\)穂当たりの平均粒数が\(71.7\)粒、標準偏差が\(19.4\)粒だった。この田の稲の\(1\)穂当たりの平均粒数を信頼度\(95\)%で区間推定しなさい。
平均粒数を\(m\)とする。
標準偏差\(\sigma=19.4\)、標本の大きさ\(n=100\)、標本平均\(\bar{X}=71.7\)で、\(m\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 71.7-1.96\times\frac{19.4}{\sqrt{100}}\leqq m\)
\(\displaystyle \ \ \ \leqq 71.7+1.96\times\frac{19.4}{\sqrt{100}}\)
\(67.9\leqq m \leqq 75.5\)
よって、
\(67.9\)粒以上\(75.5\)粒以下
母比率の推定：二項分布と信頼区間
【母比率の推定】
母集団全体に対する比率を母比率といい、標本全体に対する比率を標本比率という。
正規分布表より、\(P(-1.96\leqq Z\leqq 1.96)=0.95\)であり、確率\(0.95\)の母比率\(p\)は以下が成り立つ。
\(\displaystyle \bar{p}-1.96\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\leqq p\)
\(\displaystyle \ \ \ \leqq \bar{p}+1.96\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)
これを母比率\(p\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間という。
【例題】ある市の全世帯から\(400\)世帯を任意抽出して、ある政策に対する賛否を調べたところ、\(273\)世帯が賛成だった。全世帯における賛成の母比率\(p\)を信頼度\(95\)%で区間推定しなさい。
賛成の場合\(1\)、反対の場合\(0\)の値をとる確率変数\(X\)とする。
標本平均\(\bar{X}\)は
\(\displaystyle \bar{X}=\frac{1\times273}{400}\fallingdotseq0.683\)
標本標準偏差\(s\)は
\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{1^2\times273}{400}-\left(\frac{273}{400}\right)^2}\fallingdotseq0.466\)
\(p\)に対する信頼度\(95\)%の信頼区間は
\(\displaystyle 0.683-1.96\times\frac{0.466}{\sqrt{400}}\leqq m\)
\(\displaystyle \ \ \ \leqq 0.683+1.96\times\frac{0.466}{\sqrt{400}}\)
\(0.637\leqq m \leqq 0.729\)
よって、
\(63\)%以上\(72\)%以下
仮説検定の基礎：有意水準と棄却域
【仮説検定】
得られたデータを元に仮説を立て、成り立っているか判断することを仮説検定という。
仮説検定であらかじめ定めておく、めったに起こらないと判断する確率を有意水準といい、\(5\)%または\(1\)%とすることが多い。
仮説で棄却される範囲を棄却域という。
【両側検定と片側検定】
棄却域(グレー部分)を分布の両側に設定する検定を両側検定という。
〇有意水準\(5\)%の両側検定
〇有意水準\(1\)%の両側検定
棄却域(グレー部分)を分布の片側に設定する検定を片側検定という。
〇有意水準\(5\)%の片側検定
〇有意水準\(1\)%の片側検定
【仮説検定の手順】
(1)めったに起こらない事象\(A\)が起こった場合、対立仮説\(H_1\)を立てる。
(2)\(H_1\)を否定する帰無仮説\(H_0\)を立てる。
(3)有意水準\(p_0\)をあらかじめ定め、仮説\(H_0\)から棄却域を求める。
(4)標本から得られた確率変数が棄却域に入るか調べて、仮説\(H_0\)が棄却できるかどうか判断する。
【例題】ある工場で作られているバターの内容量は、平均\(300\)g、標準偏差\(5.5\)gの正規分布に従っている。\(100\)個のバターを無作為に選ぶと、内容量の平均が\(298.7\)gだった。
(1)バターは正常に作られていると判断してよいか。有意水準\(5\)%で検定しなさい。
仮説を「バターは正常に作られている。」とする。
バターの内容量を\(X\)gとおくと、\(X\)は正規分布\(N(300,5.5^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(300,\frac{5.5^2}{100}\right)\)に従う。
有意水準\(5\)%の棄却域は\(Z\leqq -1.96, 1.96\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 300-1.96\times\frac{5.5}{\sqrt{100}},\)
\(\displaystyle \ \ \ 300+1.96\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 298.922, 301.078\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=298.7\)は棄却域に入るので、正常に作られていないと判断できる。
(2)バターは正常に作られていると判断してよいか。有意水準\(1\)%で検定しなさい。
仮説を「バターは正常に作られている。」とする。
バターの内容量を\(X\)gとおくと、\(X\)は正規分布\(N(300,5.5^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(300,\frac{5.5^2}{100}\right)\)に従う。
有意水準\(1\)%の棄却域は\(Z\leqq -2.58, 2.58\leqq Z\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 300-2.58\times\frac{5.5}{\sqrt{100}},\)
\(\displaystyle \ \ \ 300+2.58\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}\leqq \bar{X}\)
\(\bar{X}\leqq 298.581, 301.419\leqq \bar{X}\)
標本平均\(\bar{x}=298.7\)は棄却域に入らないので、正常に作られていないとはいえない。
(3)バターの内容量は\(300\)gより少ないと判断してよいか。有意水準\(1\)%で検定しなさい。
仮説を「バターは\(300\)g以上である。」とする。
バターの内容量を\(X\)gとおくと、\(X\)は正規分布\(N(300,5.5^2)\)に従う。
標本平均\(\bar{X}\)は\(\displaystyle N\left(300,\frac{5.5^2}{100}\right)\)に従う。
有意水準\(1\)%の棄却域は\(Z\leqq -2.33\)より、
\(\displaystyle \bar{X}\leqq 300-2.33\times\frac{5.5}{\sqrt{100}}\)
\(\bar{X}\leqq 298.7185\)
標本平均\(\bar{x}=298.7\)は棄却域に入るので、バターは\(300\)gより少ないと判断できる。
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