【線形代数】3-2-1 階段行列と階数｜要点まとめ

階段行列

【階段行列】
\(m\times n\)行列\(A=(a_{ij})\)を零行列ではないとする。このとき、\(A\)がある自然数\(r\)に対して
(1)第\(1\)行ベクトルから第\(r\)行ベクトルまで全て零ベクトルではない。
(2)もし\(r< m\)ならば、第\(r+1\)行より下の行ベクトルは全て零ベクトルである。
(3)\(1\leqq i\leqq r\)に対して、第\(i\)行ベクトルの成分を左から見ていき、最初の\(0\)でない成分がある列を第\(j(i)\)列とおけば\(j(1)< j(2)< \cdots< j(r)\)が成り立つ。
を満たすとき階段行列という。また、\(r\)を階段行列の階数といい、\(r=\mathrm{rank}(A)\)で表す。

(1)階数\(3\)の階段行列
\(\begin{pmatrix}\textcolor{red}{1} & 6 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-4} & 3 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-3}\end{pmatrix},\) \(\begin{pmatrix}\textcolor{red}{1} & 2 & 0 & 5 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{2} & -1 & -4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{4} & 3\end{pmatrix},\) \(\begin{pmatrix}\textcolor{red}{1} & 2 & -2 & 0 & 4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-3} & -4 & 2 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 0\end{pmatrix},\) \(\begin{pmatrix}\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{2} & -2 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 7 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-5}\end{pmatrix}\)

(2)階数\(2\)の階段行列
\(\begin{pmatrix}\textcolor{red}{-1} & 2 & 4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{8} & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}\end{pmatrix},\) \(\begin{pmatrix}\textcolor{red}{3} & 0 & 3 & 1 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-1} & 2 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}\end{pmatrix},\) \(\begin{pmatrix}\textcolor{red}{-1} & 2 & 4 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{-7} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}\end{pmatrix},\) \(\begin{pmatrix}\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{3} & 4 & 0 & 1 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}\end{pmatrix}\)

(3)階数\(1\)の階段行列
\(\begin{pmatrix}\textcolor{blue}{0} & \textcolor{red}{1} & 3 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}\end{pmatrix},\) \(\begin{pmatrix}\textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 5 & 0 \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{0}\end{pmatrix}\)

階数

【行基本変形による掃き出し】
行列\(A=(a_{ij})\)の\((k,l)\)成分\(a_{kl}\)が\(0\)でないとする。
(1)\(A\)の第\(k\)行と異なる第\(i\)行に、第\(k\)行を\(\displaystyle -\frac{a_{il}}{a_{kl}}\)倍したものを加えることにより第\(l\)列の\((k,l)\)成分以外を全て\(0\)にする操作を\((k,l)\)成分に関して第\(l\)列を掃き出すという。
(2)\(A\)の第\(l\)列と異なる第\(j\)列に、第\(l\)列を\(\displaystyle -\frac{a_{kj}}{a_{kl}}\)倍したものを加えることにより第\(k\)行の\((k,l)\)成分以外を全て\(0\)にする操作を\((k,l)\)成分に関して第\(k\)行を掃き出すという。

【行基本変形による階段行列への変形】
行列\(A\)は行基本変形を繰り返すことにより、階段行列にすることができる。

【階数】
行列\(A\)を行基本変形して得られる階段行列の零ベクトルではない行ベクトルの数を\(A\)の階数といい、\(\mathrm{rank}(A)\)で表す。