【線形代数】3-2-2 簡約階段行列｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数における「簡約階段行列」の定義と、行基本変形を用いて行列を簡約化する具体的な手順・例題について分かりやすく解説します。
簡約階段行列
【簡約階段行列】
\(S=(s_{ij})\)を階段行列とする。\(S\)の第\(i\)行ベクトル\((i=1,2,\cdots,\mathrm{rank}(S))\)について、左から見て最初の\(0\)でない成分がある列を第\(j(i)\)列とする。\(S\)の第\(j(i)\)列において\((i,j(i))\)成分\(s_{i,j(i)}\)が\(1\)、それ以外の成分\(s_{k,j(i)}(k\neq i)\)が全て\(0\)となっているとき、\(S\)を簡約階段行列という。
【行基本変形による簡約階段行列への変形】
行列\(A\)は行基本変形により、簡約階段行列に変形できる。
【行列の標準形への変形】
階数\(r\)の\(m\times n\)行列\(A\)は、行と列に関する基本変形を行うことにより、\(F_{mn}(r)\)の形にできる。すなわち、\(m\)次基本行列の積の形で表される行列\(X\)と\(n\)次基本行列の積の形で表される行列\(Y\)が存在して
\(XAY=F_{mn}(r)\)
とできる。
【例題】次の行列の簡約階段行列に変形しなさい。
(1)\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & -1 & 5 \\ 0 & -3 & 3 & 7 \\ -1 & -3 & 1 & -2\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 7 \\ -1 & -3 & 1 & -2\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
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