【線形代数】3-3-1 連立一次方程式の解法｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数における「連立1次方程式」の解法について解説します。拡大係数行列を用いた行基本変形による解き方や、解の有無・自由度の判定（解の分類）について例題を交えて分かりやすくまとめました。
拡大係数行列
【n元連立一次方程式】
定数\(a_1,a_2,\cdots,a_n,b\)と\(n\)個の未知数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)に関して
\(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b\)
の形で与えられる方程式を未知数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)に関する一次方程式という。また、この方程式を満たす実数の組\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)を解という。
次に\(a_{ij},b_i(1\leqq i\leqq m,1\leqq j\leqq n)\)を定数とするとき、\(n\)個の未知数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)に関する\(m\)個の一次方程式の組
\(\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1j}x_j+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2j}x_j+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{ij}x_j+\cdots+a_{in}x_n=b_i \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mj}x_j+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.\)
を連立方程式という。また、この\(m\)個の一次方程式を満たす実数の組\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)を解という。未知数の個数を強調してn元連立一次方程式とよぶこともある。
【拡大係数行列】
連立方程式
\(\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1j}x_j+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2j}x_j+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{ij}x_j+\cdots+a_{in}x_n=b_i \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mj}x_j+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.\)
に対して、係数を並べた\(m\times n\)行列を
\(A=(a_{ij})_{ij}=\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\)
とおき、これを係数行列という。このとき、未知数からなる\(n\)次ベクトル\(\mathbf{x}\)と右辺の定数からなる\(m\)次数ベクトル\(\mathbf{b}\)を
\(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}\)
とおけば、連立一次方程式は
\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)
と表せる。また、\(A\)に\(\mathbf{b}\)を付け加えた\(m\times(n+1)\)行列
\(\widehat{A}=(A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right)\)
を拡大係数行列という。さらに\(\mathbf{b}=\mathbf{0}\)である場合、
\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)
を斉次連立一次方程式という。これはどのような\(A\)に対しても必ず\(\mathbf{x}=\mathbf{0}\)という解をもつ。これを自明な解という。
【例題】次の連立一次方程式の解を求めなさい。
\(\left(\begin{array}{ccc|c}6 & -4 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 & -1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}0 & 2 & -14 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 7 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -14 & -2 \\ 0 & -1 & 7 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -7 & -1 \\ 0 & -1 & 7 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)
\(z=t\)とおくと、
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5 \\ 7 \\ 1\end{pmatrix},\ \ (t\in\mathbb{R})\)
連立一次方程式の解法
【拡大係数行列の行基本変形による連立一次方程式の解の不変性】
\(m\times(n+1)\)次拡大係数行列\((A|\mathbf{b})\)と\((B|\mathbf{c})\)について、ある\(m\)次正則行列\(P\)が存在して
\(P(A|\mathbf{b})=(B|\mathbf{c})\)
であるとする。このとき、連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)の解と\(B\mathbf{x}=\mathbf{c}\)の解は一致する。
\(A\mathbf{x}=\mathbf{b} \Longleftrightarrow B\mathbf{x}=\mathbf{c}\)
が成り立つ。特に\((A|\mathbf{b})\)を行基本変形して\((B|\mathbf{c})\)が得られるならば、連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)の解と\(B\mathbf{x}=\mathbf{c}\)の解は一致する。
【連立一次方程式の解の分類】
(1)未知数の個数\(n\)が式の数\(m\)より多い斉次連立一次方程式は自明でない解を持つ。
(2)連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)について
\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)が解をもつ。\(\Longleftrightarrow \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|\mathbf{b})\)
が成り立つ。
【例題】次の拡大係数行列の解を求めなさい。
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix},\ \ (t\in\mathbb{R})\)
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)