【線形代数】4-1-1 正則行列の逆行列｜問題集

Q: 正則行列とはどのような行列ですか？

正方行列 A に対して、AB = BA = I（I は単位行列）を満たす行列 B（逆行列）が存在するとき、A を正則行列と呼びます。行列式が 0 でないこと（det(A) ≠ 0）と同値です。

Q: 行基本変形を使って逆行列を求める仕組みは？

元となる行列 A の右隣に単位行列 I を並べた拡大行列 [A | I] を作り、行基本変形を繰り返して左側を単位行列 I に変形します。このとき右側に表れた行列 [I | A^-1] が A の逆行列となります。

Q: 計算途中で行基本変形により 1 行すべてが 0 になった場合はどうなりますか？

左側の行列の階数（rank）が元の次数より小さくなるため、その行列は正則ではなく、逆行列は存在しません。

Question 1

(1)\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)

Answer

右側に単位行列をつけると、
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & -2 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & -7 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 1\end{array}\right)\)
よって、
\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-7 & 4 & 2 \\ 4 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix}\)

Question 2

(2)\(A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\)

Answer

右側に単位行列をつけると、
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}0 & -3 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3\end{array}\right)\)
よって、
左半分の階数が\(2\)なので、\(A\)は正則ではない。

Question 3

(3)\(A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -1 \\ -1 & -2 & 1\end{pmatrix}\)

Answer

右側に単位行列をつけると、
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -7 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -7 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 1\end{array}\right)\)
よって、
左半分の階数が\(2\)なので、\(A\)は正則ではない。

Question 4

(4)\(A=\begin{pmatrix}2 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 3\end{pmatrix}\)

Answer

右側に単位行列をつけると、
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & 2 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}0 & 2 & 11 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}-1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 11 & 1 & 0 & 2\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}-1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & -2 & 2\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{3}{5} & -\frac{6}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{5} & \frac{11}{5} & -\frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right)\)
よって、
\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -6 & 1 \\ -3 & 11 & -6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix}\)

Question 5

(5)\(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\)

Answer

右側に単位行列をつけると、
\(\left(\begin{array}{cccc|cccc}0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{cccc|cccc}0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -3 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{cccc|cccc}1 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -3 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{cccc|cccc}1 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & -6 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -9 & -2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{cccc|cccc}1 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -9 & -2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{cccc|cccc}1 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -6 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{cccc|cccc}1 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & -\frac{1}{6}\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{cccc|cccc}1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{5}{6} & \frac{7}{12} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{12} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & -\frac{1}{6}\end{array}\right)\)
よって、
\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}-10 & 7 & 3 & 2 \\ 2 & -5 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & -2\end{pmatrix}\)