【線形代数】4-3-1 3次行列式の定義｜要点まとめ

このページでは、大学数学の線形代数における「3次行列式」の定義とその基本的な性質（多重線形性・退化性・正規化条件）について解説します。サラスの方法や列基本変形を用いた求め方、計算例題をわかりやすくまとめました。

3次行列式の定義

【3次行列式】
3次正方行列\(A\)に対して、スカラーを対応させる関数で3条件を満たすものを\(A\)の行列式といい、\(\det A\)または\(|A|\)で表す。

(1)多重線形性
各列ベクトルに関して線形性が成り立つ。例えば第1列について、\(\alpha\)と\(\beta\)のスカラーとすれば
\(\begin{vmatrix}\alpha\mathbf{a}_1+\beta\mathbf{b} & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\end{vmatrix}\)
\(\ \ =\alpha\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\end{vmatrix}+\beta\begin{vmatrix}\mathbf{b} & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\end{vmatrix}\)
が成り立つ。これを成分で表せば
\(\begin{vmatrix}\alpha\mathbf{a}_{11}+\beta\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_{12} & \mathbf{a}_{13} \\ \alpha\mathbf{a}_{21}+\beta\mathbf{b}_2 & \mathbf{a}_{22} & \mathbf{a}_{23} \\ \alpha\mathbf{a}_{31}+\beta\mathbf{b}_3 & \mathbf{a}_{32} & \mathbf{a}_{33} \end{vmatrix}\)
\(\ \ =\alpha\begin{vmatrix}\mathbf{a}_{11} & \mathbf{a}_{12} & \mathbf{a}_{13} \\ \mathbf{a}_{21} & \mathbf{a}_{22} & \mathbf{a}_{23} \\ \mathbf{a}_{31} & \mathbf{a}_{32} & \mathbf{a}_{33} \end{vmatrix}+\beta\begin{vmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_{12} & \mathbf{a}_{13} \\ \mathbf{b}_2 & \mathbf{a}_{22} & \mathbf{a}_{23} \\ \mathbf{b}_3 & \mathbf{a}_{32} & \mathbf{a}_{33}\end{vmatrix}\)
となる。第2列と第3列についても同様の性質が成り立つ。

(2)退化性
\(A=\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\end{pmatrix}\)の3個の列ベクトル\(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\)の中で同じものがあれば
\(\det A=0\)
が成り立つ。

(3)正規化条件
3次単位行列\(E_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)に対して、
\(\det(E_3)=1\)
が成り立つ。

サラスの方法

【3次行列式の形】
3次行列式について、以下が成り立つ。
\(\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)
\(\ \ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}\)
\(\ \ \ \ -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\)

【例題】次の行列式の値を求めなさい。

(1)\(A=\begin{vmatrix}0 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{vmatrix}\)

列基本変形と行列式の関係

【列基本変形と行列式の関係】
3次正方行列に対して、列基本変形と行列式について以下が成り立つ。
(1)ある列に別の列のスカラー倍を加えても行列式は変わらない。
(2)ある列を\(\alpha\)倍すると行列式も\(\alpha\)倍される。(\(\alpha\)が括り出される)
(3)列を入れ替えると行列式は\(-1\)倍される
特にスカラー倍で\(\alpha=0\)とすれば、全て成分が\(0\)である列があれば行列式の値は\(0\)となる。

【転置行列の行列式】
3次正方行列\(A\)について、
\(\det A=\det(A^T)\)
が成り立つ。つまり、転置をとっても行列式の値は変わらない。

【例題】次の行列式の値を求めなさい。

(1)\(A=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 8 & 9 & 4 \\ 7 & 6 & 5\end{vmatrix}\)

ブロック分けされた行列式

【ブロック分けされた行列式】
3次正方行列について
\(\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\)
が成り立つ。

【三角行列の行列式】
3次正方行列について、
\(\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}\)
\(\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}\)
が成り立つ。

【例題】次の行列式の値を求めなさい。

(1)\(A=\begin{vmatrix}0 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{vmatrix}\)
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