【線形代数】4-2-1 2次行列式の定義｜要点まとめ

2次行列式の定義

【2次行列式】
2次正方行列\(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)に対して、その行列式を
\(\det A:=ad-bc\)
で定義する。正方行列\(A\)の行列式を簡単に\(|A|\)で表すこともある。
さらに、ベクトル\(\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix},\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix}\)を並べてできる2次正方行列
\(A=\begin{pmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{pmatrix}\)
に対して、その行列式を
\(\det A=|A|=\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\)
のように書く。

【2次行列式の性質】
(1)多重線形性
任意の平面ベクトル\(\mathbf{a},\mathbf{a'},\mathbf{b},\mathbf{b'}\)に対して、
\(\begin{vmatrix}\mathbf{a}+\mathbf{a'} & \mathbf{b}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\mathbf{a'} & \mathbf{b}\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}+\mathbf{b'}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b'}\end{vmatrix}\)
が成り立つ。また、スカラー\(\alpha\)に対して
\(\begin{vmatrix}\alpha\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{vmatrix}=\alpha\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \alpha\mathbf{b}\end{vmatrix}\)
が成り立つ。このように列ベクトルの和を分けたり、スカラー倍を前に出せることを多重線形性という。
(2)退化性
任意の平面ベクトル\(\mathbf{a}\)に対して、
\(\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{a}\end{vmatrix}=0\)
が成り立つ。この性質を退化性という。
(3)正規化条件
基本ベクトル\(\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\)に対して、
\(\begin{vmatrix}\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2\end{vmatrix}=1\)
が成り立つ。この性質は\(|E_2|=1\)と表せて、正規化条件という。
(4)交代性
任意の平面ベクトル\(\mathbf{a},\mathbf{b}\)に対して、
\(\begin{vmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{b}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\mathbf{b} & \mathbf{a}\end{vmatrix}\)
が成り立つ。このようにベクトルを入れ替えると符号が変わることを交代性という。

【2次行列式の特徴】
2次正方行列\(A\)に実数を対応させる関数\(f(A)\)で、多重線形性、退化性、正規化条件の3つを全て満たすとき、
\(f(A)=\det A\)
が成り立つ。