【線形代数】4-4-1 n次行列式の定義｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数における「n次行列式」の定義とその基本的な性質（多重線形性・退化性・正規化条件）について解説します。列基本変形を用いた求め方や転倒数を用いた具体例題をわかりやすくまとめました。
n次行列式の定義
【n次行列式】
\(D_n\)をn次正方行列にスカラーを対応させる関数で、次の3つの性質を満たすものとする。ただし、n次正方行列\(A\)を
\(A=\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)
と列ベクトルに分解したときに
\(D_n(A)=D_n\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)
と表すものとする。
(1)多重線形性
\(\alpha\)と\(\beta\)をスカラーとする。ある\(j\)に対して、\(A=\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)の第\(j\)列が\(\mathbf{a}_j=\alpha\mathbf{a}'_j+\beta\mathbf{a}''_j\)と表されているとき、\(A\)の第\(j\)列を\(\mathbf{a}'_j\)に置き換えた行列を\(A'\)とし、\(A\)の第\(j\)列を\(\mathbf{a}''_j\)に置き換えた行列を\(A''\)とすると
\(D_n(A)=\alpha D_n(A')+\beta D_n(A'')\)
すなわち
\(D_n\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \alpha\mathbf{a}'_j+\beta\mathbf{a}''_j & \cdots & \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)
\(\ \ =\alpha D_n\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}'_j & \cdots & \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)
\(\ \ \ \ \ +\beta D_n\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}''_j & \cdots & \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)
が成り立つ。
(2)退化性
ある異なる\(j\)と\(k\)に対して、\(A\)の第\(j\)列\(\mathbf{a}_j\)と第\(k\)列\(\mathbf{a}_k\)が等しいとき
\(D_n(A)=0\)
が成り立つ。
(3)正規化条件
n次単位行列\(E_n\)に対して、
\(D_n(E_n)=1\)
が成り立つ。
このとき、n次正方行列\(A\)に対して、\(D_n(A)\)を\(A\)の行列式といい、\(|A|\)または\(\det A\)で表す。n次正方行列の行列式をn次行列式という。
【列基本変形と行列式】
n次行列式は列基本変形について次の性質を満たす。
(1)行列\(A\)の第\(j\)列の\(\alpha\)倍を第\(k\)列(ただし\(k\neq j\)とする)に加えて得られる行列を\(A'\)とするとき
\(|A|=|A'|\)
すなわち
\(\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_k+\alpha\mathbf{a}_j & \cdots & \mathbf{a}_n\end{vmatrix}\)
\(\ \ =\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_k & \cdots & \mathbf{a}_n\end{vmatrix}\)
が成り立つ。
(2)\(A\)の第\(j\)列を\(\alpha\)倍して得られる行列の行列式は\(\alpha|A|\)となる。すなわち
\(\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_{j-1} & \alpha\mathbf{a}_j & \mathbf{a}_{j+1} & \cdots & \mathbf{a}_n\end{vmatrix}\)
\(\ \ =\alpha\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_{j-1} & \mathbf{a}_j & \mathbf{a}_{j+1} & \cdots & \mathbf{a}_n\end{vmatrix}\)
が成り立つ。
(3)交代性
\(A\)の2つの列ベクトルを交換して得られる行列の行列式は\(-|A|\)となる。すなわち
\(\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_j & \cdots & \mathbf{a}_k & \cdots & \mathbf{a}_n\end{vmatrix}\)
\(\ \ =-\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_k & \cdots & \mathbf{a}_j & \cdots & \mathbf{a}_n\end{vmatrix}\)
が成り立つ。
【列基本変形と行列式の関係】
n次正方行列に対して、列基本変形と行列式について以下が成り立つ。
(1)ある列に別の列のスカラー倍を加えても行列式は変わらない。
(2)ある列に\(\alpha\)倍すると行列式も\(\alpha\)倍される。(\(\alpha\)がくくり出される)
(3)2つの列を入れ替えると行列式は\(-1\)倍される。
特にスカラー倍で\(\alpha=0\)とすると、全て成分が\(0\)である列があれば、その行列式の値は\(0\)となる。
【三角行列の行列式】
三角行列の行列式は対角成分の積で与えられる。すなわち
\(\begin{vmatrix}\alpha_1 & & & * \\ & \alpha_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \alpha_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\alpha_1 & & & 0 \\ & \alpha_2 & & \\ & & \ddots & \\ * & & & \alpha_n\end{vmatrix}\)
\(\ \ =\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n\)
が成り立つ。ここで上三角行列については、対角成分より右上の成分は行列式の値に無関係なので、\(*\)のように省略している。
【例題】次の行列式の値を求めなさい。
\(=2\begin{vmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 3 & 10 & 10 \\ 1 & 8 & 6\end{vmatrix}\)
\(=2\begin{vmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 3 & 10 & 0 \\ 1 & 8 & -2\end{vmatrix}\)
\(=2\cdot(-1)\cdot10\cdot(-2)\)
\(=40\)
\(=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & 3 & 2\end{vmatrix}\)
\(=-\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{vmatrix}\)
\(=-1\cdot1\cdot2\cdot(-1)\cdot3\)
\(=6\)
転倒数
【転倒数】
n次の順列\([i_1,i_2,\cdots,i_n]\)に対して、\(j< k\)かつ\(i_j> i_k\)となるような組\((i_j,i_k)\)の個数を転倒数といい、\(N_{[i_1,i_2,\cdots,i_n]}\)で表す。
【転倒数の意味】
n次の順列\([i_1,i_2,\cdots,i_n]\)に対して、行列\(\begin{pmatrix}\mathbf{e}_{i1} & \mathbf{e}_{i2} & \cdots & \mathbf{e}_{in}\end{pmatrix}\)は2つの列の交換を\(N_{[i_1,i_2,\cdots,i_n]}\)回行うことで単位行列に変形できる。
【n次行列式の具体的な表示式】
n次正方行列\(A=(a_{ij})\)に対して、
\(\displaystyle \det A=\sum_{[i_1,i_2,\cdots,i_n]\in S_n}(-1)^{N_{[i_1,i_2,\cdots,i_n]}}a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}\)
が成り立つ。
【例題】次の転倒数を求めなさい。