1.図において、次のベクトルを図示しなさい。
(1)\(\vec{a}+\vec{b}\)
(2)\(\vec{a}-\vec{b}\)
2.図において、次のベクトルを図示しなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}\)
(2)\(\vec{a}-2\vec{b}\)
3.次の等式が成り立つことを示しなさい。
(1)\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}\)
(左辺)\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\)
\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\)
\(=\overrightarrow{CD}\)
よって、(左辺)=(右辺)
(2)\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)
(左辺)\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\)
\(=\overrightarrow{AA}\)
\(=\vec{0}\)
よって、(左辺)=(右辺)
4.次の計算をしなさい。
(1)\(\vec{a}+3\vec{a}-2\vec{a}\)
\(=2\vec{a}\)
(2)\(3\vec{a}+7\vec{b}-5\vec{a}-2\vec{b}\)
\(=-2\vec{a}+5\vec{b}\)
(3)\(3(2\vec{a}+\vec{b})+4(\vec{a}-2\vec{b})\)
\(=6\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{a}-8\vec{b}\)
\(=10\vec{a}-5\vec{b}\)
(4)\(2(\vec{a}-3\vec{b})-3(3\vec{a}-2\vec{b})\)
\(=2\vec{a}-6\vec{b}-9\vec{a}+6\vec{b}\)
\(=-7\vec{a}\)
(5)\(\displaystyle \frac{1}{3}(\vec{a}+2\vec{b})+\frac{2}{3}(\vec{a}-\vec{b})\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}\)
\(=\vec{a}\)
(6)\(\displaystyle \frac{1}{2}(-\vec{a}+2\vec{b})-\frac{1}{3}(2\vec{a}+\vec{b})\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}\)
\(\displaystyle =-\frac{7}{6}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\)
5.次の等式を満たすベクトル\(\vec{x},\vec{y}\)を\(\vec{a},\vec{b}\)を使って表しなさい。
(1)\(3(\vec{a}+2\vec{x})-\vec{b}=2(\vec{x}+4\vec{b})+\vec{x}\)
\(3\vec{a}+6\vec{x}-\vec{b}=2\vec{x}+8\vec{b}+\vec{x}\)
\(\vec{x}=-\vec{a}+3\vec{b}\)
(2)\(2(\vec{a}+2\vec{x})-4\vec{a}=5(\vec{x}-3\vec{b})\)
\(2\vec{a}+4\vec{x}-4\vec{a}=5\vec{x}-15\vec{b}\)
\(\vec{x}=-2\vec{a}+15\vec{b}\)
(3)\(\vec{x}+\vec{y}=\vec{a},3\vec{x}+2\vec{y}=\vec{b}\)
\(\vec{x},\vec{y}\)の連立方程式を解くと
\(\vec{x}=-2\vec{a}+\vec{b}\)
\(\vec{y}=3\vec{a}-\vec{b}\)
(4)\(\vec{x}-\vec{y}=\vec{a}+\vec{b},2\vec{x}+3\vec{y}=\vec{a}-\vec{b}\)
\(\vec{x},\vec{y}\)の連立方程式を解くと
\(\displaystyle \vec{x}=\frac{4}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}\)
\(\displaystyle \vec{y}=-\frac{1}{5}\vec{a}-\frac{3}{5}\vec{b}\)
6.正六角形\(ABCDEF\)において\(\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AF}=\vec{b}\)とするとき、次のベクトルを\(\vec{a},\vec{b}\)を使って表しなさい。
(1)\(\overrightarrow{AC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(=\vec{a}+\vec{a}+\vec{b}\)
\(=2\vec{a}+\vec{b}\)
(2)\(\overrightarrow{EF}\)
\(=\overrightarrow{OA}\)
\(=-(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=-\vec{a}-\vec{b}\)
(3)\(\overrightarrow{DB}\)
\(=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\)
\(=-\vec{b}-(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=-\vec{a}-2\vec{b}\)
7.平行四辺形\(ABCD\)の辺\(BC,CD\)の中点をそれぞれ\(E,F\)とする。また、\(\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d}\)とする。
(1)\(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}\)をそれぞれ\(\vec{b},\vec{d}\)を用いて表しなさい。
\(\displaystyle \overrightarrow{AE}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{d}\)
(2)\(\vec{b},\vec{d}\)をそれぞれ\(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}\)を用いて表しなさい。
\(\vec{b},\vec{d}\)の連立方程式を解くと
\(\displaystyle \vec{b}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}\)
\(\displaystyle \vec{d}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AF}\)