【高校数学C】4-2-3 極方程式｜問題集

\(r=3\)

\(r=4\cos\theta\)

\(\displaystyle r=6\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)\)

\(\displaystyle r=\frac{2}{\cos\theta}\)

\(\displaystyle r=\frac{2}{\sin\theta}\)

\(\displaystyle \theta=\frac{2}{3}\pi\)

\(\displaystyle r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=1\)

\(\displaystyle r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=3\)

\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)を代入すると、
\((r\cos\theta-2)^2+(r\sin\theta)^2=4\)
\(r^2\cos^2\theta-4r\cos\theta+4+r^2\sin^2\theta=4\)
\(r(r-4\cos\theta)=0\)
\(r=0,4\cos\theta\)
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}\)のとき、\(r=0\)になるので、
よって、
\(r=4\cos\theta\)

\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)を代入すると、
\((r\cos\theta)^2+2(r\sin\theta)^2=4\)
\(r^2\cos^2\theta+2r^2\sin^2\theta=4\)
\(r^2(\cos^2\theta+2\sin^2\theta)=4\)

\(r(\sin\theta+\cos\theta)=1\)
\(r\sin\theta=y,r\cos\theta=x\)を代入すると、
\(y+x=1\)
\(x+y-1=0\)

\(r^2=2r\sin\theta\)
\(r^2=x^2+y^2,r\sin\theta=y\)を代入すると、
\(x^2+y^2=2y\)
\(x^2+(y^2-2y+1)-1=0\)
\(x^2+(y-1)^2=1\)

\(\displaystyle r\left(\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\)
\(r\sin\theta=y,r\cos\theta=x\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=2\)
\(\sqrt{3}x+y-4=0\)

\(\displaystyle r(1+\cos\theta)=1\)
\(r^2=x^2+y^2,r\cos\theta=x\)を代入すると、
\(\sqrt{x^2+y^2}+x=1\)
\(x^2+y^2=1-2x+x^2\)
\(y^2=-2x+1\)

余弦定理より、
\(\displaystyle AB^2=4^2+2^2-2・4・2\cos\left(\frac{5}{6}\pi-\frac{1}{6}\pi\right)\)
\(AB^2=20+8\)
\(AB^2=28\)
\(AB=2\sqrt{7}\)

直交座標で表すと、
\(A(\sqrt{3},1),B(-2\sqrt{3},2)\)
\(AB\)の傾きは
\(\displaystyle \frac{1-2}{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}=-\frac{1}{3\sqrt{3}}\)
求める方程式は
\(\displaystyle y-1=-\frac{1}{3\sqrt{3}}(x-\sqrt{3})\)
\(3\sqrt{3}y-3\sqrt{3}=-x+\sqrt{3}\)
\(x+3\sqrt{3}y=4\sqrt{3}\)
\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)を代入すると、
\(r\cos\theta+3\sqrt{3}r\sin\theta=4\sqrt{3}\)
\(r(\cos\theta+3\sqrt{3}\sin\theta)=4\sqrt{3}\)