【高校数学C】4-1-2 楕円｜問題集
1.次の楕円の方程式の頂点、焦点、長軸、短軸を求めなさい。また、グラフも描きなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
頂点は\((5,0),(-5,0),(0,3),(0,-3)\)
焦点は\((\sqrt{5^2-3^2},0),(-\sqrt{5^2-3^2},0)\)
よって、\((4,0),(-4,0)\)
長軸は\(10\)
短軸は\(6\)
焦点は\((\sqrt{5^2-3^2},0),(-\sqrt{5^2-3^2},0)\)
よって、\((4,0),(-4,0)\)
長軸は\(10\)
短軸は\(6\)
(2)\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
頂点は\((3,0),(-3,0),(0,1),(0,-1)\)
焦点は\((\sqrt{3^2-1^2},0),(-\sqrt{3^2-1^2},0)\)
よって、\((2\sqrt{2},0),(-2\sqrt{2},0)\)
長軸は\(6\)
短軸は\(2\)
頂点は\((3,0),(-3,0),(0,1),(0,-1)\)
焦点は\((\sqrt{3^2-1^2},0),(-\sqrt{3^2-1^2},0)\)
よって、\((2\sqrt{2},0),(-2\sqrt{2},0)\)
長軸は\(6\)
短軸は\(2\)
(3)\(x^2+16y^2=16\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
頂点は\((4,0),(-4,0),(0,1),(0,-1)\)
焦点は\((\sqrt{4^2-1^2},0),(-\sqrt{4^2-1^2},0)\)
よって、\((\sqrt{15},0),(-\sqrt{15},0)\)
長軸は\(8\)
短軸は\(2\)
頂点は\((4,0),(-4,0),(0,1),(0,-1)\)
焦点は\((\sqrt{4^2-1^2},0),(-\sqrt{4^2-1^2},0)\)
よって、\((\sqrt{15},0),(-\sqrt{15},0)\)
長軸は\(8\)
短軸は\(2\)
(4)\(\displaystyle \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
頂点は\((2,0),(-2,0),(0,3),(0,-3)\)
焦点は\((0,\sqrt{3^2-2^2}),(0,-\sqrt{3^2-2^2})\)
よって、\((0,\sqrt{5}),(0,-\sqrt{5})\)
長軸は\(6\)
短軸は\(4\)
焦点は\((0,\sqrt{3^2-2^2}),(0,-\sqrt{3^2-2^2})\)
よって、\((0,\sqrt{5}),(0,-\sqrt{5})\)
長軸は\(6\)
短軸は\(4\)
(5)\(\displaystyle x^2+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
頂点は\((1,0),(-1,0),(0,5),(0,-5)\)
焦点は\((0,\sqrt{5^2-1^2}),(0,-\sqrt{5^2-1^2})\)
よって、\((0,2\sqrt{6}),(0,-2\sqrt{6})\)
長軸は\(10\)
短軸は\(2\)
頂点は\((1,0),(-1,0),(0,5),(0,-5)\)
焦点は\((0,\sqrt{5^2-1^2}),(0,-\sqrt{5^2-1^2})\)
よって、\((0,2\sqrt{6}),(0,-2\sqrt{6})\)
長軸は\(10\)
短軸は\(2\)
2.次の楕円の方程式を求めなさい。
(1)\(2\)点\((\sqrt{3},0),(-\sqrt{3},0)\)で\(2\)点からの距離の和が\(4\)
求める楕円の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(2\)つの焦点までの距離の和が\(4\)なので、
\(2a=4\)
\(a=2\)
焦点より、\(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}\)なので、
\(\sqrt{2^2-b^2}=\sqrt{3}\)
\(b^2=1\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1\)
\(2\)つの焦点までの距離の和が\(4\)なので、
\(2a=4\)
\(a=2\)
焦点より、\(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}\)なので、
\(\sqrt{2^2-b^2}=\sqrt{3}\)
\(b^2=1\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1\)
(2)\(2\)点\((2,0),(-2,0)\)を焦点として、長軸の長さが\(6\)
求める楕円の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
長軸の長さが\(6\)なので、
\(2a=6\)
\(a=3\)
焦点より、\(\sqrt{a^2-b^2}=2\)なので、
\(\sqrt{3^2-b^2}=2\)
\(b^2=5\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
長軸の長さが\(6\)なので、
\(2a=6\)
\(a=3\)
焦点より、\(\sqrt{a^2-b^2}=2\)なので、
\(\sqrt{3^2-b^2}=2\)
\(b^2=5\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
3.円\(x^2+y^2=2^2\)を次のように拡大縮小して得られる楕円の方程式を求めなさい。
(1)\(x\)軸を基準にして\(y\)軸方向に\(\displaystyle \frac{3}{2}\)倍
円の座標を\((s,t)\)とおくと、
\(\displaystyle x=s,y=\frac{3}{2}t\)
すなわち、
\(\displaystyle s=x,t=\frac{2}{3}y\)
\(s^2+t^2=4\)より、
\(\displaystyle x^2+\left(\frac{2}{3}y\right)^2=4\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\displaystyle x=s,y=\frac{3}{2}t\)
すなわち、
\(\displaystyle s=x,t=\frac{2}{3}y\)
\(s^2+t^2=4\)より、
\(\displaystyle x^2+\left(\frac{2}{3}y\right)^2=4\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)
(2)\(y\)軸を基準にして\(x\)軸方向に\(2\)倍
円の座標を\((s,t)\)とおくと、
\(\displaystyle x=2s,y=t\)
すなわち、
\(\displaystyle s=\frac{1}{2}x,t=y\)
\(s^2+t^2=4\)より、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x\right)^2+y^2=4\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\displaystyle x=2s,y=t\)
すなわち、
\(\displaystyle s=\frac{1}{2}x,t=y\)
\(s^2+t^2=4\)より、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x\right)^2+y^2=4\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
4.座標平面上において、長さ\(7\)の線分\(AB\)の端点\(A\)は\(x\)軸上、端点\(B\)は\(y\)軸上を動くとき、線分\(AB\)を\(3:4\)に内分する点\(P\)の軌跡を求めなさい。
\(A(s,0),B(0,t),P(x,y)\)とおくと、
\(\displaystyle x=\frac{4}{7}s,y=\frac{3}{7}t\)
すなわち、
\(\displaystyle s=\frac{7}{4}x,t=\frac{7}{3}y\)
\(s^2+t^2=7^2\)より、
\(\displaystyle \left(\frac{7}{4}x\right)^2+\left(\frac{7}{3}y\right)^2=49\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\displaystyle x=\frac{4}{7}s,y=\frac{3}{7}t\)
すなわち、
\(\displaystyle s=\frac{7}{4}x,t=\frac{7}{3}y\)
\(s^2+t^2=7^2\)より、
\(\displaystyle \left(\frac{7}{4}x\right)^2+\left(\frac{7}{3}y\right)^2=49\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
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