【高校数学C】2-1-5 空間における方程式｜問題集
1.点\((1,2,3)\)を通る、次のような平面の方程式を求めなさい。
(1)\(xy\)平面に平行
\(z=3\)
(2)\(yz\)平面に平行
\(x=1\)
(3)\(y\)軸に垂直
\(y=2\)
2.次のような球面の方程式を求めなさい。
(1)原点を中心とする半径\(3\)の球面
\(x^2+y^2+z^2=9\)
(2)点\((1,2,-3)\)を中心とする半径\(4\)の球面
\((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=16\)
(3)点\(A(0,4,1)\)を中心とし、点\(B(2,4,5)\)を通る球面
\(x^2+(y-4)^2+z^2=r^2\)とおく。
\((2,4,5)\)を通るので、
\(2^2+0+5^2=r^2\)
\(r^2=29\)
よって、
\(x^2+(y-4)^2+z^2=29\)
\((2,4,5)\)を通るので、
\(2^2+0+5^2=r^2\)
\(r^2=29\)
よって、
\(x^2+(y-4)^2+z^2=29\)
(4)\(2\)点\(A(4,-2,1),B(0,4,-5)\)が直径の両端とする球面
球面の中心は
\(\displaystyle \left(\frac{4+0}{2},\frac{-2+4}{2},\frac{1-5}{2}\right)=(2,1,-2)\)
球面の半径は
\(\sqrt{(4-2)^2+(-2-1)^2+(1+2)^2}=\sqrt{22}\)
よって、
\((x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=22\)
\(\displaystyle \left(\frac{4+0}{2},\frac{-2+4}{2},\frac{1-5}{2}\right)=(2,1,-2)\)
球面の半径は
\(\sqrt{(4-2)^2+(-2-1)^2+(1+2)^2}=\sqrt{22}\)
よって、
\((x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=22\)
3.球面\((x+1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=3^2\)と次の平面が交わる部分は円である。その中心の座標と半径を求めなさい。
(1)\(yz\)平面
\(x=0\)より、
\(1^2+(y-4)^2+(z-2)^2=3^2\)
\((y-4)^2+(z-2)^2=8\)
よって、
中心\(:(0,4,2)\)、半径\(:2\sqrt{2}\)
\(1^2+(y-4)^2+(z-2)^2=3^2\)
\((y-4)^2+(z-2)^2=8\)
よって、
中心\(:(0,4,2)\)、半径\(:2\sqrt{2}\)
(2)平面\(y=4\)
\(y=4\)より、
\((x+1)^2+0+(z-2)^2=3^2\)
\((x+1)^2+(z-2)^2=9\)
よって、
中心\(:(-1,4,2)\)、半径\(:3\)
\((x+1)^2+0+(z-2)^2=3^2\)
\((x+1)^2+(z-2)^2=9\)
よって、
中心\(:(-1,4,2)\)、半径\(:3\)
4.中心が点\((-2,0,a)\)、半径が\(4\)の球面が\(xy\)平面と交わってできる円の半径が\(3\)であるとき、\(a\)の値を求めなさい。
\((x+2)^2+y^2+(z-a)^2=16\)
\(z=0\)より、
\((x+2)^2+y^2+a^2=16\)
\((x+2)^2+y^2=16-a^2\)
半径が\(3\)より、
\(\sqrt{16-a^2}=3\)
\(16-a^2=9\)
\(a^2=7\)
\(a=\pm\sqrt{7}\)
\(z=0\)より、
\((x+2)^2+y^2+a^2=16\)
\((x+2)^2+y^2=16-a^2\)
半径が\(3\)より、
\(\sqrt{16-a^2}=3\)
\(16-a^2=9\)
\(a^2=7\)
\(a=\pm\sqrt{7}\)
5.次の条件を満たす直線の方程式を求めなさい。
(1)点\(A(1,2,-3)\)を通り、\(\vec{d}=(2,5,1)\)に平行な直線
\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{5}=z+3\)
(2)\((-1,3,-2),(2,7,3)\)を通る直線
求める直線の方向ベクトルを\(\vec{d}\)とすると、
\(\vec{d}=(2,7,3)-(-1,3,-2)=(3,4,5)\)
\((-1,3,-2)\)を通るので、
\(\displaystyle \frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+2}{5}\)
\(\vec{d}=(2,7,3)-(-1,3,-2)=(3,4,5)\)
\((-1,3,-2)\)を通るので、
\(\displaystyle \frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+2}{5}\)
(3)\((2,-1,1),(-1,3,1)\)を通る直線
求める直線の方向ベクトルを\(\vec{d}\)とすると、
\(\vec{d}=(-1,3,1)-(2,-1,1)=(-3,4,0)\)
\((2,-1,1)\)を通るので、
\(\displaystyle \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{4},z=1\)
\(\vec{d}=(-1,3,1)-(2,-1,1)=(-3,4,0)\)
\((2,-1,1)\)を通るので、
\(\displaystyle \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{4},z=1\)
(4)\((-3,5,2)\)を通り、\(z\)軸に平行な直線
\(x=-3,y=5\)
6.直線\(\displaystyle l_1:\frac{x-7}{4}=\frac{y+5}{5}=z-8\)、\(\displaystyle l_2:\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-1}\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。
\(2\)直線\(l_1,l_2\)の方向ベクトルをそれぞれ\(\vec{u_1},\vec{u_2}\)とすると、
\(\vec{u_1}=(4,5,1),\vec{u_2}=(3,2,-1)\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{u_1}・\vec{u_2}}{|\vec{u_1}||\vec{u_2}|}\)
\(\displaystyle =\frac{4・3+5・2+1・(-1)}{\sqrt{4^2+5^2+1^2}\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\)
よって、
\(\theta=30°\)
\(\vec{u_1}=(4,5,1),\vec{u_2}=(3,2,-1)\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{u_1}・\vec{u_2}}{|\vec{u_1}||\vec{u_2}|}\)
\(\displaystyle =\frac{4・3+5・2+1・(-1)}{\sqrt{4^2+5^2+1^2}\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}\)
よって、
\(\theta=30°\)
7.次の条件を満たす平面の方程式を求めなさい。
(1)点\(A(2,3,1)\)を通り、\(\vec{n}=(3,1,5)\)に垂直な平面
\(3(x-2)+(y-3)+5(z-1)=0\)
\(3x+y+5z-14=0\)
\(3x+y+5z-14=0\)
(2)点\(A(1,2,3)\)を通り、直線\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-2}=z+3\)に垂直な平面
方向ベクトルを\(\vec{n}\)とすると、
\(\vec{n}=(2,-2,1)\)
よって、
\(2(x-1)-2(y-2)+(z-3)=0\)
\(2x-2y+z-1=0\)
\(\vec{n}=(2,-2,1)\)
よって、
\(2(x-1)-2(y-2)+(z-3)=0\)
\(2x-2y+z-1=0\)
(3)点\(A(2,3,-1)\)を通り、平面\(3x+4y-5z-7=0\)に平行な平面
方向ベクトルを\(\vec{n}\)とすると、
\(\vec{n}=(3,4,-5)\)
よって、
\(3(x-2)+4(y-3)-5(z+1)=0\)
\(3x+4y-5z-23=0\)
\(\vec{n}=(3,4,-5)\)
よって、
\(3(x-2)+4(y-3)-5(z+1)=0\)
\(3x+4y-5z-23=0\)
(4)\(A(1,0,2),B(0,1,0),C(2,1,-3)\)を通る平面
求める平面を\(ax+by+cz+d=0\)とすると、
\(a+2c+d=0\)
\(b+d=0\)
\(2a+b-3c+d=0\)
これを解くと、
\(a=3,b=7,c=2,d=-7\)
よって、
\(3x+7y+2z-7=0\)
\(a+2c+d=0\)
\(b+d=0\)
\(2a+b-3c+d=0\)
これを解くと、
\(a=3,b=7,c=2,d=-7\)
よって、
\(3x+7y+2z-7=0\)
8.\((-3,2,-4)\)と平面\(3x+2y-z-6=0\)の距離\(h\)を求めなさい。
\(\displaystyle h=\frac{|3・(-3)+2・2-(-4)-6|}{\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{|-7|}{\sqrt{14}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{14}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{|-7|}{\sqrt{14}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{14}}{2}\)
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