1.\(\vec{a}=(3,2),\vec{b}=(-1,2)\)のとき、\(\vec{p}=(x,y)\)として、次のベクトル方程式で表される図形を\(x\)と\(y\)の方程式で表しなさい。
(1)\(\vec{p}=\vec{a}+t\vec{b}\)
\((x,y)=(3,2)+t(-1,2)=(3-t,2+2t)\)
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-t+3\\
y=2t+2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
よって、
\(2x+y-8=0\)
(2)\((\vec{p}-\vec{a})・\vec{b}=0\)
\(((x,y)-(3,2))・(-1,2)=0\)
\((x-3,y-2)・(-1,2)=0\)
\(-(x-3)+2(y-2)=0\)
\(x-2y+1=0\)
(3)\(|\vec{p}-\vec{a}|=2\)
\(|(x,y)-(3,2)|=2\)
\(|(x-3,y-2)|=2\)
\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=2\)
\((x-3)^2+(y-2)^2=4\)
(4)\((\vec{p}-\vec{a})・(\vec{p}-\vec{b})=0\)
\(((x,y)-(3,2))・((x,y)-(-1,2))=0\)
\((x-3,y-2)・(x+1,y-2)=0\)
\((x-3)(x+1)+(y-2)^2=0\)
\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)
2.次の条件を満たす直線の方程式を求めなさい。
(1)\(A(-2,3)\)を通り、ベクトル\(\vec{d}=(2,1)\)に平行
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}\)より、
\((x,y)=(-2,3)+t(2,1)=(-2+2t,3+t)\)
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=2t-2\\
y=t+3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
よって、
\(x-2y+8=0\)
(2)\(A(1,0)\)を通り、ベクトル\(\vec{d}=(5,-3)\)に平行
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}\)より、
\((x,y)=(1,0)+t(5,-3)=(1+5t,-3t)\)
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=5t+1\\
y=-3t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
よって、
\(3x+5y-3=0\)
(3)点\(A(-1,2),B(3,1)\)を通る
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}\)より、
\((x,y)\)
\(=(1-t)(-1,2)+t(3,1)\)
\(=(4t-1,-t+2)\)
よって、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=4t-1\\
y=-t+2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
よって、
\(x+4y-7=0\)
(4)点\(A(2,-4),B(5,-3)\)を通る
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}\)より、
\((x,y)\)
\(=(1-t)(2,-4)+t(5,-3)\)
\(=(2+3t,-4+t)\)
よって、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=3t+2\\
y=t-4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
よって、
\(x-3y-14=0\)
(5)点\(A(3,1)\)を通り、ベクトル\(\vec{n}=(2,3)\)に垂直
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{n}・(\vec{p}-\vec{a})=0\)より、
\((2,3)・((x,y)-(3,1))\)
\(=(2,3)・(x-3,y-1)\)
\(=2(x-3)+3(y-1)\)
\(=2x+3y-9\)
よって、
\(2x+3y-9=0\)
(6)点\(A(0,1)\)を通り、ベクトル\(\vec{n}=(5,-3)\)に垂直
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{n}・(\vec{p}-\vec{a})=0\)より、
\((5,-3)・((x,y)-(0,1))\)
\(=(5,-3)・(x,y-1)\)
\(=5x-3(y-1)\)
\(=5x-3y+3\)
よって、
\(5x-3y+3=0\)
(7)点\(A(3,1),B(-2,2),C(1,-5)\)について、点\(C\)を通り、直線\(AB\)に垂直
\(P(x,y)\)とおく。
\(\overrightarrow{AB}=(-5,1)\)
\(\overrightarrow{CP}=(x-1,y+5)\)
\(\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{CP}=0\)なので、
\((-5,1)・(x-1,y+5)=0\)
\(-5(x-1)+(y+5)=0\)
\(5x-y-10=0\)
3.定点\(A(\vec{a},B(\vec{b}))\)と動点\(P(\vec{p})\)に対して、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めなさい。
(1)\(|\vec{p}-\vec{a}|=3\)
中心の位置ベクトルは\(\vec{a}\)
半径は\(3\)
(2)\(|\vec{p}+3\vec{a}|=1\)
中心の位置ベクトルは\(-3\vec{a}\)
半径は\(1\)
(3)\(|6\vec{p}-3\vec{a}|=2\)
\(\displaystyle \left|\vec{p}-\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right)\right|=\frac{1}{3}\)
中心の位置ベクトルは\(\displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}\)
半径は\(\displaystyle \frac{1}{3}\)
(4)\(|2\vec{p}-\vec{a}-\vec{b}|=8\)
\(\displaystyle \left|\vec{p}-\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right)\right|=4\)
中心の位置ベクトルは\(\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)
半径は\(4\)
(5)\(\vec{p}・(\vec{p}-2\vec{a})=0\)
\(|\vec{p}|^2-2\vec{p}・\vec{a}+|\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2\)
\(|\vec{p}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2\)
\(|\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{a}|\)
中心の位置ベクトルは\(\vec{a}\)
半径は\(|\vec{a}|\)
4.\(△OAB\)において、\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)とする。次の式を満たす点\(P\)の存在範囲を求めなさい。
(1)\(s+t=2\)
\(s+t=2\)より、\(\displaystyle \frac{s}{2}+\frac{t}{2}=1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =\frac{s}{2}(2\overrightarrow{OA})+\frac{t}{2}(2\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}\)となる点\(A'\)があり、
\(2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は直線\(A'B'\)上にある。
(2)\(\displaystyle s+t=\frac{1}{2},s\geqq0,t\geqq0\)
\(\displaystyle s+t=\frac{1}{2}\)より、\(\displaystyle 2s+2t=1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =2s(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA})+2t(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OA'}\)となる点\(A'\)があり、
\(\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は線分\(A'B'\)上にある。
(3)\(\displaystyle s+3t=2,s\geqq0,t\geqq0\)
\(\displaystyle s+3t=2\)より、\(\displaystyle \frac{s}{2}+\frac{3}{2}t=1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =\frac{s}{2}(2\overrightarrow{OA})+\frac{3}{2}t(\frac{2}{3}\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}\)となる点\(A'\)があり、
\(\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は線分\(A'B'\)上にある。
(4)\(0\leqq s+t\leqq2,s\geqq0,t\geqq0\)
\(0\leqq s+t\leqq2\)より、\(\displaystyle 0\leqq \frac{s}{2}+\frac{t}{2}\leqq1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =\frac{s}{2}(2\overrightarrow{OA})+\frac{t}{2}(2\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}\)となる点\(A'\)があり、
\(2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は\(△OA'B'\)の周上および内部にある。
(5)\(0\leqq 2s+3t\leqq6,s\geqq0,t\geqq0\)
\(0\leqq 2s+3t\leqq6\)より、\(\displaystyle 0\leqq \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t\leqq1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}s(3\overrightarrow{OA})+\frac{1}{2}t(2\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(3\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}\)となる点\(A'\)があり、
\(2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は\(△OA'B'\)の周上および内部にある。
(6)\(0\leqq s\leqq1,0\leqq t\leqq2\)
\(0\leqq t\leqq2\)より、\(\displaystyle 0\leqq\frac{1}{2}t\leqq1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =s\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}t(2\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は平行四辺形\(OACB'\)の周上および内部にある。
(7)\(0\leqq s\leqq2,0\leqq t\leqq3\)
\(0\leqq s\leqq2\)より、\(\displaystyle 0\leqq\frac{1}{2}s\leqq1\)
\(0\leqq t\leqq3\)より、\(\displaystyle 0\leqq\frac{1}{3}t\leqq1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}s(2\overrightarrow{OA})+\frac{1}{3}t(3\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}\)となる点\(A'\)があり、
\(3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は平行四辺形\(OA'CB'\)の周上および内部にある。