【高校数学C】4-1-3 双曲線｜問題集

\(\displaystyle \frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\)
頂点は\((5,0),(-5,0)\)
焦点は\((\sqrt{5^2+4^2},0),(-\sqrt{5^2+4^2},0)\)
よって、\((\sqrt{41},0),(-\sqrt{41},0)\)
漸近線は\(\displaystyle y=\frac{4}{5}x,y=-\frac{4}{5}x\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{2^2}=1\)
頂点は\((1,0),(-1,0)\)
焦点は\((\sqrt{1^2+2^2},0),(-\sqrt{1^2+2^2},0)\)
よって、\((\sqrt{5},0),(-\sqrt{5},0)\)
漸近線は\(y=2x,y=-2x\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{1^2}=1\)
頂点は\((3,0),(-3,0)\)
焦点は\((\sqrt{3^2+1^2},0),(-\sqrt{3^2+1^2},0)\)
よって、\((\sqrt{10},0),(-\sqrt{10},0)\)
漸近線は\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x,y=-\frac{1}{3}x\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{2^2}=-1\)
頂点は\((0,2),(0,-2)\)
焦点は\((0,\sqrt{3^2+2^2}),(0,-\sqrt{3^2+2^2})\)
よって、\((0,\sqrt{13}),(0,-\sqrt{13})\)
漸近線は\(\displaystyle y=\frac{2}{3}x,y=-\frac{2}{3}x\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{5^2}=-1\)
頂点は\((0,5),(0,-5)\)
焦点は\((0,\sqrt{4^2+5^2}),(0,-\sqrt{4^2+5^2})\)
よって、\((0,\sqrt{41}),(0,-\sqrt{41})\)
漸近線は\(\displaystyle y=\frac{5}{4}x,y=-\frac{5}{4}x\)

求める双曲線の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(2\)つの焦点までの距離の差が\(8\)なので、
\(2a=8\)
\(a=4\)
焦点より、\(\sqrt{a^2+b^2}=5\)なので、
\(\sqrt{4^2+b^2}=5\)
\(b^2=9\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)

求める双曲線の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\)
漸近線より、\(\displaystyle \frac{b}{a}=\sqrt{3}\)なので、
\(b=\sqrt{3}a\)
焦点より、\(\sqrt{a^2+b^2}=4\)なので、
\(\sqrt{a^2+3a^2}=4\)
\(a=2,b=2\sqrt{3}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=-1\)

求める双曲線の方程式を\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
直角双曲線なので、
\(a=b\)
焦点より、\(\sqrt{a^2+b^2}=2\)なので、
\(\sqrt{a^2+a^2}=2\)
\(a=\sqrt{2},b=\sqrt{2}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1\)