【高校数学C】4-2-3 極方程式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Cの「極方程式」について整理します。極座標からの変換方法や公式の使い方を解説し、例題を通して基礎から応用まで理解を深め、テストや入試対策に役立つ学習ページです。
極方程式とは
【極方程式】
\(r\)と\(\theta\)の間に方程式\(r=f(\theta)\)や\(g(r,\theta)=0\)で表されるとき、曲線の極方程式という。
【円の極方程式】
(1)中心が極\(O\)、半径が\(a\)の円
\(r=a\)
(2)中心の極座標が\((a,0)\)、半径が\(a\)の円
\(r=2a\cos\theta\)
【直線の極方程式】
(1)極\(O\)を通り、始線とのなす角が\(\alpha\)である直線
\(\theta=\alpha\)
(2)極座標が\((a,\alpha)\)である点\(A\)を通り、線分\(OA\)に垂直な直線
\(r\cos(\theta-\alpha)=a\)
【例題】次の極方程式を求めなさい。
(1)中心が極\(O\)、半径が\(4\)の円
\(r=4\)
(2)中心の極座標が\((3,0)\)、半径が\(3\)の円
\(r=6\cos\theta\)
(3)極\(O\)を通り、始線とのなす角が\(\displaystyle \frac{\pi}{6}\)である直線
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}\)
(4)極座標が\(\displaystyle \left(2,\frac{3}{4}\pi\right)\)である点\(A\)を通り、線分\(OA\)に垂直な直線
\(\displaystyle r\cos\left(\theta-\frac{3}{4}\pi\right)=2\)
【例題】\(x^2+(y+1)^2=1\)を極方程式で表しなさい。
\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)を代入すると、
\((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta+1)^2=1\)
\(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta+2r\sin\theta+1=1\)
\(r(r+2\sin\theta)=0\)
\(r=0,-2\sin\theta\)
\(\theta=0\)のとき、\(r=0\)になるので、
よって、
\(r=-2\sin\theta\)
\((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta+1)^2=1\)
\(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta+2r\sin\theta+1=1\)
\(r(r+2\sin\theta)=0\)
\(r=0,-2\sin\theta\)
\(\theta=0\)のとき、\(r=0\)になるので、
よって、
\(r=-2\sin\theta\)
【例題】\(r=2(\sin\theta-\cos\theta)\)を直交座標の方程式で表しなさい。
\(r^2=2r\sin\theta-2r\cos\theta\)
\(r^2=x^2+y^2,r\sin\theta=y,r\cos\theta=x\)を代入すると、
\(x^2+y^2=2y-2x\)
\((x^2+2x+1)-1+(y^2-2y+1)-1=0\)
\((x+1)^2+(y-1)^2=2\)
\(r^2=x^2+y^2,r\sin\theta=y,r\cos\theta=x\)を代入すると、
\(x^2+y^2=2y-2x\)
\((x^2+2x+1)-1+(y^2-2y+1)-1=0\)
\((x+1)^2+(y-1)^2=2\)
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