【高校数学C】2-1-2 空間のベクトル｜問題集

\(\overrightarrow{BF},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{DH}\)

\(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{GF},\overrightarrow{HE}\)

\(=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\)

\(=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)

\(=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\)

\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=5\sqrt{2}\)

\(|\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=3\)

\(=3(1,3,-2)+2(4,-3,0)\)
\(=(3,9,-6)+(8,-6,0)\)
\(=(11,3,-6)\)

\(=-2\vec{a}+8\vec{b}\)
\(=-2(1,3,-2)+8(4,-3,0)\)
\(=(-2,-6,4)+(32,-24,0)\)
\(=(30,-30,4)\)

\(\overrightarrow{AB}=(3,-1,5)-(2,1,4)=(1,-2,1)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}\)

\(\overrightarrow{AB}=(1,-4,2)-(3,0,-2)=(-2,-4,4)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+4^2}=6\)

\(x=-2y+7\)
\(y=1-z\)
\(z=5x+2\)
これを解くと、
\(x=-1,y=4,z=-3\)

\((-2,3,-2)\)
\(\ \ \ =s(1,-2,-1)+t(1,-1,-2)+u(3,-2,-2)\)
\((-2,3,-2)\)
\(\ \ \ =(s+t+3u,-2s-t-2u,-s-2t-2u)\)
\(\left\{\begin{array}{l}s+t+3u=-2 \\ -2s-t-2u=3 \\ -s-2t-2u=-2\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(s=-2,t=3,u=-1\)
よって、
\(\vec{p}=-2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}\)

\(\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)-(2,1,5)=(-1,-1,-6)\)
\(\overrightarrow{BD}=(x,y,z)-(-1,2,3)=(x+1,y-2,z-3)\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\)より、
\(x+1=-1,y-2=-1,z-3=-6\)
これを解くと、
\(x=-2,y=1,z=-3\)

\(|\vec{a}+t\vec{b}|^2\)
\(=|\vec{a}|^2+2t\vec{a}・\vec{b}+t^2|\vec{b}|^2\)
\(=2^2+(-4)^2+(-3)^2+2t(2・1-4・(-1)-3・1)\)
\(\ \ \ +t^2(1^2+(-1)^2+1^2)\)
\(=3t^2+6t+29\)
\(=3(t+1)^2+26\)
よって、
\(t=-1\)のとき、最小値\(\sqrt{26}\)