1.次の平行六面体において、問いに答えなさい。
(1)\(\overrightarrow{AE}\)に等しいベクトルを全て答えなさい。
\(\overrightarrow{BF},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{DH}\)
(2)\(\overrightarrow{AD}\)の逆ベクトルを全て答えなさい。
\(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{GF},\overrightarrow{HE}\)
(3)\(\overrightarrow{EC}\)を\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。
\(=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\)
(4)\(\overrightarrow{BH}\)を\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。
\(=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)
(5)\(\overrightarrow{DF}\)を\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。
\(=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\)
2.次のベクトルの大きさを求めなさい。
(1)\(\vec{a}=(3,4,5)\)
\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=5\sqrt{2}\)
(2)\(\vec{b}=(-1,2,-2)\)
\(|\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=3\)
3.\(\vec{a}=(1,3,-2),\vec{b}=(4,-3,0)\)のとき、次のベクトルを求めなさい。
(1)\(3\vec{a}+2\vec{b}\)
\(=3(1,3,-2)+2(4,-3,0)\)
\(=(3,9,-6)+(8,-6,0)\)
\(=(11,3,-6)\)
(2)\(2(-\vec{a}+4\vec{b})\)
\(=-2\vec{a}+8\vec{b}\)
\(=-2(1,3,-2)+8(4,-3,0)\)
\(=(-2,-6,4)+(32,-24,0)\)
\(=(30,-30,4)\)
4.次の\(A,B\)について\(\overrightarrow{AB}\)を成分表示して\(|\overrightarrow{AB}|\)を求めなさい。
(1)\(A(2,1,4),B(3,-1,5)\)
\(\overrightarrow{AB}=(3,-1,5)-(2,1,4)=(1,-2,1)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}\)
(2)\(A(3,0,-2),B(1,-4,2)\)
\(\overrightarrow{AB}=(1,-4,2)-(3,0,-2)=(-2,-4,4)\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+4^2}=6\)
5.\(\vec{a}=(x,y,z),\vec{b}=(-2y+7,1-z,5x+2)\)が等しくなるとき、\(x,y,z\)を求めなさい。
\(x=-2y+7\)
\(y=1-z\)
\(z=5x+2\)
これを解くと、
\(x=-1,y=4,z=-3\)
6.\(\vec{a}=(1,-2,-1),\vec{b}=(1,-1,-2),\vec{c}=(3,-2,-2)\)のとき、\(\vec{p}=(-2,3,-2)\)を\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)の形を表しなさい。
\((-2,3,-2)=s(1,-2,-1)+t(1,-1,-2)+u(3,-2,-2)\)
\((-2,3,-2)=(s+t+3u,-2s-t-2u,-s-2t-2u)\)
\(s+t+3u=-2,-2s-t-2u=3,-s-2t-2u=-2\)
これを解くと、
\(s=-2,t=3,u=-1\)
よって、
\(\vec{p}=-2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}\)
7.平行四辺形\(ABDC\)があり、\(A(2,1,5),B(-1,2,3),C(1,0,-1),D(x,y,z)\)である。\(x,y,z\)の値を求めなさい。
\(\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)-(2,1,5)=(-1,-1,-6)\)
\(\overrightarrow{BD}=(x,y,z)-(-1,2,3)=(x+1,y-2,z-3)\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\)より、
\(x+1=-1,y-2=-1,z-3=-6\)
これを解くと、
\(x=-2,y=1,z=-3\)
8.\(\vec{a}=(2,-4,-3),\vec{b}=(1,-1,1)\)について、\(|\vec{a}+t\vec{b}|\)を最小にする実数\(t\)の値とそのときの最小値を求めなさい。
\(|\vec{a}+t\vec{b}|^2\)
\(=|\vec{a}|^2+2t\vec{a}・\vec{b}+t^2|\vec{b}|^2\)
\(=2^2+(-4)^2+(-3)^2+2t(2・1-4・(-1)-3・1)+t^2(1^2+(-1)^2+1^2)\)
\(=3t^2+6t+29\)
\(=3(t+1)^2+26\)
よって、
\(t=-1\)のとき、最小値\(\sqrt{26}\)