1-1-2 ベクトルの演算(要点)

【ベクトルの加法】

\(\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b}\)とすると、ベクトルの和\(\vec{a}+\vec{b}\)と表される。
また、\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\)である。

【ベクトルの減法】

\(\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)とすると、ベクトルの差\(\vec{a}-\vec{b}\)と表される。
また、\(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)である。

【例題】図において、次のベクトルを図示しなさい。

(1)\(\vec{a}+\vec{b}\)

(2)\(\vec{a}-\vec{b}\)

【ベクトルの実数倍】

ベクトル\(\vec{a}\)と実数\(k\)に対して、\(k\vec{a}\)は次のように定義する。
(1)\(k> 0\)のとき、\(k\vec{a}\)は\(\vec{a}\)と同じ向きで、大きさは\(|\vec{a}|\)の\(k\)倍
(2)\(k< 0\)のとき、\(k\vec{a}\)は\(\vec{a}\)と反対の向きで、大きさは\(|\vec{a}|\)の\(|k|\)倍

【例題】図において、次のベクトルを図示しなさい。

(1)\(3\vec{a}\)

(2)\(-2\vec{b}\)

(3)\(2\vec{a}-\vec{b}\)

【ベクトルの演算】

(1)交換法則\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
(2)結合法則\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
(3)\(k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}\)
(4)分配法則\((k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}\)
(5)分配法則\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\)
(6)逆ベクトル\(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\)
(7)零ベクトル\(\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\)

【零ベクトル】

始点と終点が一致するベクトルを零ベクトルといい、\(\vec{0}\)で表す。

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\(3(2\vec{a})\)

\(6\vec{a}\)

(2)\(2\vec{a}+3\vec{a}\)

\(5\vec{a}\)

(3)\(2(\vec{a}+\vec{b})\)

\(2\vec{a}+2\vec{b}\)

【ベクトルの平行】

\(\vec{a}\neq\vec{0}\)のとき、
\(\vec{a}//\vec{b} \Leftrightarrow \vec{b}=k\vec{a}\)となる実数\(k\)が存在する。

【単位ベクトル】

大きさが\(1\)のベクトルを単位ベクトルという。
\(\vec{a}\neq\vec{0}\)のとき、\(\vec{a}\)に平行な単位ベクトルは\(\displaystyle \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)と\(\displaystyle -\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)

【例題】図のような長方形\(ABCD\)において、\(\overrightarrow{AC}\)と平行な単位ベクトルを\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\)を使って表しなさい。

\(AC=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
よって、求める単位ベクトルは
\(\displaystyle \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{5}\), \(\displaystyle -\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=-\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{5}\)