2-1-4 空間の位置ベクトル(要点)

【内分点・外分点の位置ベクトル】

\(2\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b})\)を結ぶ線分\(AB\)があるとき、
(1)\(m:n\)に内分する点\(P(\vec{p})\)は\(\displaystyle \vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)
(2)\(m:n\)に外分する点\(Q(\vec{q})\)は\(\displaystyle \vec{q}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\)

【三角形の重心の位置ベクトル】

\(3\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)を頂点とする\(△ABC\)の重心\(G(\vec{g})\)は、
\(\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)

【例題】四面体\(OABC\)があり、線分\(AC\)を\(3:2\)に内分する点を\(D\)、線分\(BD\)を\(3:2\)に外分する点を\(E\)、\(△ACE\)の重心を\(G\)とする。\(\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}\)とするとき、\(\overrightarrow{OG}\)を\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。

\(\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OC}}{3+2}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{c}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{-2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OD}}{3-2}\)
\(\displaystyle =-2\vec{b}+3\left(\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{c}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{6}{5}\vec{a}-2\vec{b}+\frac{9}{5}\vec{c}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{c}+\frac{1}{3}\left(\frac{6}{5}\vec{a}-2\vec{b}+\frac{9}{5}\vec{c}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{11}{15}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{14}{15}\vec{c}\)

【3点が一直線上にある条件】

\(3\)点\(A,B,C\)が一直線上にある。\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\)となる定数\(k\)がある。

【例題】四面体\(OABC\)において、辺\(OA,BC,OB,OC\)の中点を\(P,Q,R,S\)とし、\(△ARS\)の重心を\(G\)とするとき、\(3\)点\(P,G,Q\)は一直線上にあることを証明しなさい。

\(\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}\)とすると、
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\)
\(\displaystyle =\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\frac{1}{2}\vec{a}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\)
\(\displaystyle \overrightarrow{PG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OP}\)
\(\displaystyle =\frac{\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}}{3}-\frac{1}{2}\vec{a}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{6}(-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{PQ}=3\overrightarrow{PG}\)
したがって、\(P,G,Q\)は一直線上にある。

【4点が同一平面上にある条件】

一直線上にない\(3\)点\(A,B,C\)によって定められる平面\(ABC\)について、次のことが成り立つ。
(1)点\(P\)が平面\(ABC\)上にある。\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\)となる定数\(s,t\)がある。
(2)点\(P\)が平面\(ABC\)上にある。\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OP}=r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC},r+s+t=1\)となる定数\(r,s,t\)がある。

【例題】\(4\)点\(A(-3,1,-2),B(1,-3,2),C(3,-3,1),P(x,1,2)\)が同一平面上にあるとき、\(x\)の値を求めなさい。

\(\overrightarrow{AB}=(4,-4,4)\)
\(\overrightarrow{AC}=(6,-4,3)\)
\(\overrightarrow{AP}=(x+3,0,4)\)
\(\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\)より、
\((x+3,0,4)=s(4,-4,4)+t(6,-4,3)\)
\((x+3,0,4)=(4s+6t,-4s-4t,4s+3t)\)
\(x+3=4s+6t,0=-4s-4t,4=4s+3t\)
これを解くと、
\(t=-4,s=4,x=-11\)
よって、
\(x=-11\)

【例題】立方体\(ABCD-EFGH\)において、線分\(BG\)と\(CF\)の交点を\(I\)とし、直線\(AI\)と平面\(BDE\)の交点を\(J\)とする。\(\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AE}=\vec{e}\)とするとき、\(\overrightarrow{AJ}\)を\(\vec{b},\vec{d},\vec{e}\)を用いて表しなさい。

\(\displaystyle \overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AG}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{\vec{b}+(\vec{b}+\vec{d}+\vec{e})\}\)
\(\displaystyle =\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{e}\)
点\(J\)は直線\(AI\)上にあるので、
\(\overrightarrow{AJ}=k\overrightarrow{AI}\)
\(\displaystyle =k\vec{b}+\frac{1}{2}k\vec{d}+\frac{1}{2}k\vec{e}\)

また、
\(\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}\)
\(=\vec{b}+s\overrightarrow{BD}+t\overrightarrow{BE}\)
\(=\vec{b}+s(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})+t(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB})\)
\(=\vec{b}+s(\vec{d}-\vec{b})+t(\vec{e}-\vec{b})\)
\(=(1-s-t)\vec{b}+s\vec{d}+t\vec{e}\)

\(\displaystyle k=1-s-t,\frac{1}{2}k=s,\frac{1}{2}k=t\)
これを解くと、
\(\displaystyle k=\frac{1}{2},s=\frac{1}{4},t=\frac{1}{4}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{d}+\frac{1}{4}\vec{e}\)