【高校数学C】2-1-4 空間の位置ベクトル｜要点まとめ

このページでは、高校数学Cの「空間の位置ベクトル」について整理します。空間内の点をベクトルで表す方法や、直線・平面上にある点の位置ベクトルの求め方をわかりやすく解説します。空間ベクトルの内積との関係も確認し、立体図形の問題に応用できる力を養いましょう。

空間ベクトルの内積と座標の関係

【内分点・外分点の位置ベクトル】
\(2\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b})\)を結ぶ線分\(AB\)があるとき、
(1)\(m:n\)に内分する点\(P(\vec{p})\)は\(\displaystyle \vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)
(2)\(m:n\)に外分する点\(Q(\vec{q})\)は\(\displaystyle \vec{q}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\)

【三角形の重心の位置ベクトル】
\(3\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)を頂点とする\(△ABC\)の重心\(G(\vec{g})\)は、
\(\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)

【例題】四面体\(OABC\)があり、線分\(AC\)を\(3:2\)に内分する点を\(D\)、線分\(BD\)を\(3:2\)に外分する点を\(E\)、\(△ACE\)の重心を\(G\)とする。\(\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}\)とするとき、\(\overrightarrow{OG}\)を\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。

直線上の点の位置ベクトル

【3点が一直線上にある条件】
\(3\)点\(A,B,C\)が一直線上にある。\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\)となる定数\(k\)がある。

【例題】四面体\(OABC\)において、辺\(OA,BC,OB,OC\)の中点を\(P,Q,R,S\)とし、\(△ARS\)の重心を\(G\)とするとき、\(3\)点\(P,G,Q\)は一直線上にあることを証明しなさい。

平面上の点の位置ベクトル

【4点が同一平面上にある条件】
一直線上にない\(3\)点\(A,B,C\)によって定められる平面\(ABC\)について、次のことが成り立つ。
(1)点\(P\)が平面\(ABC\)上にある。\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\)となる定数\(s,t\)がある。
(2)点\(P\)が平面\(ABC\)上にある。\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OP}=r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC},r+s+t=1\)となる定数\(r,s,t\)がある。

【例題】\(4\)点\(A(-3,1,-2)\),\(B(1,-3,2)\),\(C(3,-3,1)\),\(P(x,1,2)\)が同一平面上にあるとき、\(x\)の値を求めなさい。
【例題】立方体\(ABCD-EFGH\)において、線分\(BG\)と\(CF\)の交点を\(I\)とし、直線\(AI\)と平面\(BDE\)の交点を\(J\)とする。\(\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AE}=\vec{e}\)とするとき、\(\overrightarrow{AJ}\)を\(\vec{b},\vec{d},\vec{e}\)を用いて表しなさい。
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