【高校数学C】3-1-1 複素数平面｜要点まとめ
このページでは、高校数学Cの「複素数平面」について整理します。実数の拡張としての複素数を平面上で表し、共役な複素数や演算の意味を図形的に理解します。また、絶対値の定義とその幾何的な意味も確認し、複素数平面の基本操作を確実にマスターしましょう。
複素数と複素数平面の関係
【複素数平面】
複素数\(a+bi\)は、実部\(a\)と虚部\(b\)の組で定まるので、座標平面上に\(P(a,b)\)を対応させると、全ての複素数が表される。
各点が複素数を表すと定めた座標平面を複素数平面といい、\(x\)軸を実軸、\(y\)軸を虚軸という。
複素数\(z=a+bi\)を表す点\(P\)を\(P(z)\)で表す。
【例題】次の複素数を表す点を図示しなさい。
共役な複素数の意味と性質
【共役な複素数】
複素数\(z=a+bi\)に対して、\(\bar{z}=a-bi\)を\(z\)の共役な複素数という。
【共役な複素数の性質】
複素数\(z=a+bi\)に対して、
(1)\(z\)が実数のとき、\(\bar{z}=z\)
(2)\(z\)が純虚数のとき、\(\bar{z}=-z\)かつ\(z\neq0\)
複素数\(z,w\)に対して、
(3)\(\bar{z+w}=\bar{z}+\bar{w}\)
(4)\(\bar{z-w}=\bar{z}-\bar{w}\)
(5)\(\bar{zw}=\bar{z}\bar{w}\)
(6)\(\displaystyle \bar{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}\)
(7)\(\overline{(\bar{z})}=z\)
【例題】次の問いに答えなさい。
複素数の加法・減法・乗除の演算
【複素数の実数倍】
\(0\)でない複素数\(z\)と実数\(k\)について、次のことが成り立つ。
(1)\(3\)点\(O(0),z,kz\)は一直線上にある。
(2)\(k>0\)のとき、点\(kz\)は原点に関して点\(z\)と同じ象限にあり、原点からの距離は\(z\)の距離の\(k\)倍である。
(3)\(k<0\)のとき、点\(kz\)は原点に関して点\(z\)と対称の象限にあり、原点からの距離は\(z\)の距離の\(|k|\)倍である。
(4)\(k=0\)のとき、\(kz=0\)
【複素数の加法】
複素数\(\alpha,\beta\)において、
点\(\alpha+\beta\)は、原点\(O\)を点\(\beta\)に移す平行移動によって点\(\alpha\)を移した点である。
【複素数の減法】
複素数\(\alpha,\beta\)において、
点\(\alpha-\beta\)は、点\(\beta\)を原点\(O\)に移す平行移動によって点\(\alpha\)を移した点である。
【例題】\(z=-1+i\)のとき、次の点を図示しなさい。
【例題】\(\alpha=3+2i,\beta=-1+i\)のとき、次の点を図示しなさい。
複素数の絶対値とその幾何的意味
【複素数の絶対値】
複素数\(z=a+bi\)に対し、\(\sqrt{a^2+b^2}\)を\(z\)の絶対値といい、\(|z|\)で表す。
\(|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)
【例題】次の複素数の絶対値を求めなさい。