3-1-1 複素数平面(要点)

【複素数平面】

複素数\(a+bi\)は、実部\(a\)と虚部\(b\)の組で定まるので、座標平面上に\(P(a,b)\)を対応させると、全ての複素数が表される。
各点が複素数を表すと定めた座標平面を複素数平面といい、\(x\)軸を実軸、\(y\)軸を虚軸という。
複素数\(z=a+bi\)を表す点\(P\)を\(P(z)\)で表す。

【例題】次の複素数を表す点を図示しなさい。

(1)\(A(2+3i)\)

(2)\(B(-1+2i)\)

(3)\(C(-3-i)\)

(4)\(D(2-2i)\)

(5)\(E(-2)\)

(6)\(F(i)\)

(7)\(G(0)\)

【共役な複素数】

複素数\(z=a+bi\)に対して、\(\bar{z}=a-bi\)を\(z\)の共役な複素数という。

【共役な複素数の性質】

複素数\(z=a+bi\)に対して、
(1)\(z\)が実数のとき、\(\bar{z}=z\)
(2)\(z\)が純虚数のとき、\(\bar{z}=-z\)かつ\(z\neq0\)
複素数\(z,w\)に対して、
(3)\(\bar{z+w}=\bar{z}+\bar{w}\)
(4)\(\bar{z-w}=\bar{z}-\bar{w}\)
(5)\(\bar{zw}=\bar{z}\bar{w}\)
(6)\(\displaystyle \bar{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}\)
(7)\(\overline{(\bar{z})}=z\)

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)\(\alpha-\beta=-2\)のとき、\(\bar{\alpha}-\bar{\beta}\)を求めなさい。

\(\bar{\alpha}-\bar{\beta}=\overline{\alpha-\beta}=\alpha-\beta=-2\)

(2)\(\alpha\beta=3i\)のとき、\(\bar{\alpha}\bar{\beta}\)を求めなさい。

\(\bar{\alpha}\bar{\beta}=\overline{\alpha\beta}=-\alpha\beta=-3i\)

【複素数の実数倍】

\(0\)でない複素数\(z\)と実数\(k\)について、次のことが成り立つ。
(1)\(3\)点\(O(0),z,kz\)は一直線上にある。
(2)\(k>0\)のとき、点\(kz\)は原点に関して点\(z\)と同じ象限にあり、原点からの距離は\(z\)の距離の\(k\)倍である。
(3)\(k<0\)のとき、点\(kz\)は原点に関して点\(z\)と対称の象限にあり、原点からの距離は\(z\)の距離の\(|k|\)倍である。
(4)\(k=0\)のとき、\(kz=0\)

【複素数の加法】

複素数\(\alpha,\beta\)において、
点\(\alpha+\beta\)は、原点\(O\)を点\(\beta\)に移す平行移動によって点\(\alpha\)を移した点である。

【複素数の減法】

複素数\(\alpha,\beta\)において、
点\(\alpha-\beta\)は、点\(\beta\)を原点\(O\)に移す平行移動によって点\(\alpha\)を移した点である。

【例題】\(z=-1+i\)のとき、次の点を図示しなさい。

(1)\(A(2z)\)

(2)\(B(3z)\)

(3)\(C(-z)\)

(4)\(D(-2z)\)

(5)\(E(-3z)\)

【例題】\(\alpha=3+2i,\beta=-1+i\)のとき、次の点を図示しなさい。

(1)\(A(\alpha+\beta)\)

(2)\(B(\alpha-\beta)\)

(3)\(C(-\alpha+2\beta)\)

【複素数の絶対値】

複素数\(z=a+bi\)に対し、\(\sqrt{a^2+b^2}\)を\(z\)の絶対値といい、\(|z|\)で表す。
\(|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)

【例題】次の複素数の絶対値を求めなさい。

(1)\(1+2i\)

\(|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

(2)\(-3+4i\)

\(|-3+4i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)

(3)\(2\)

\(|2|=\sqrt{2^2+0^2}=2\)

(4)\(-i\)

\(|-i|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1\)