2-1-5 空間における方程式(要点)

【座標軸に垂直な平面】

\(P(a,b,c)\)を通り、
(1)\(x\)軸に垂直な平面は\(x=a\)
(2)\(y\)軸に垂直な平面は\(y=b\)
(3)\(z\)軸に垂直な平面は\(z=c\)

【例題】点\(A(-3,1,-2)\)を通る次のような平面の方程式を求めなさい。

(1)\(z\)軸に垂直

\(z=-2\)

(2)\(y\)軸に垂直

\(y=1\)

(3)\(xy\)平面に平行

\(z=-2\)

【球面の方程式】

中心が点\((a,b,c)\)、半径が\(r\)のとき、
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)

【例題】点\(A(-3,1,-2)\)を中心とし、半径が\(3\)の球面の方程式を求めなさい。

\((x+3)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=9\)

【空間における直線の方程式】

\((x_0,y_0,z_0)\)を通り方向ベクトルが\((a,b,c)\)である直線の方程式は
\(\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\)

【例題】点\(A(-3,1,-2)\)を通り、次のベクトル\(\vec{u}\)を方向ベクトルとする直線の方程式を求めなさい。

(1)\(\vec{u}=(3,-3,1)\)

\(\displaystyle \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{-3}=z+2\)

(2)\(\vec{u}=(1,0,2)\)

\(\displaystyle x+3=\frac{z+2}{2},y=1\)

【例題】\((3,-3,1),(1,0,2)\)を通る直線の方程式を求めなさい。

求める直線の方向ベクトルを\(\vec{u}\)とすると、
\(\vec{u}=(1,0,2)-(3,-3,1)=(-2,3,1)\)
\((3,-3,1)\)を通るので、
\(\displaystyle \frac{x-3}{-2}=\frac{y+3}{3}=z-1\)

【例題】直線\(\displaystyle l_1:\frac{x-3}{5}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-5}{2}\)、\(\displaystyle l_2:\frac{x-7}{7}=\frac{y+5}{-2}=z-8\)のなす角\(\theta\)を求めなさい。

\(2\)直線\(l_1,l_2\)の方向ベクトルをそれぞれ\(\vec{u_1},\vec{u_2}\)とすると、
\(\vec{u_1}=(5,5,2),\vec{u_2}=(7,-2,1)\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{u_1}・\vec{u_2}}{|\vec{u_1}||\vec{u_2}|}\)
\(\displaystyle =\frac{5・7+5・(-2)+2・1}{\sqrt{5^2+5^2+2^2}\sqrt{7^2+(-2)^2+1^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、
\(\theta=60°\)

【空間における平面の方程式】

\((x_0,y_0,z_0)\)を通り方向ベクトルが\(\vec{n}=(a,b,c)\)である平面の方程式は
\(\displaystyle a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)

\(\vec{n}\)をこの平面の法線ベクトルという。

【点と平面の距離】

\((x_0,y_0,z_0)\)と平面\(ax+by+cz+d=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

【例題】\((-3,1,-2)\)を通り、法線ベクトル\(\vec{n}=(3,-3,1)\)である平面の方程式を求めなさい。

\(3(x+3)-3(y-1)+(z+2)=0\)
\(3x-3y+z+14=0\)

【例題】\((-3,1,-2)\)と平面\(4x-3y-5z+1=0\)の距離\(h\)を求めなさい。

\(\displaystyle h=\frac{|4・(-3)-3・1-5・(-2)+1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2+(-5)^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{|-4|}{\sqrt{50}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{2}}{5}\)