【高校数学C】2-1-5 空間における方程式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Cの「空間における方程式」について整理します。座標軸に垂直な平面や球面の方程式、空間における直線や平面の方程式をわかりやすく解説し、図形問題やベクトル応用問題に対応できる実践力を養います。
座標軸に垂直な平面の方程式
【座標軸に垂直な平面】
\(P(a,b,c)\)を通り、
(1)\(x\)軸に垂直な平面は\(x=a\)
(2)\(y\)軸に垂直な平面は\(y=b\)
(3)\(z\)軸に垂直な平面は\(z=c\)
【例題】点\(A(-3,1,-2)\)を通る次のような平面の方程式を求めなさい。
球面の方程式とその応用
【球面の方程式】
中心が点\((a,b,c)\)、半径が\(r\)のとき、
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)
空間における直線の方程式
【空間における直線の方程式】
\((x_0,y_0,z_0)\)を通り方向ベクトルが\((a,b,c)\)である直線の方程式は
\(\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\)
【例題】点\(A(-3,1,-2)\)を通り、次のベクトル\(\vec{u}\)を方向ベクトルとする直線の方程式を求めなさい。
\(\vec{u}=(1,0,2)-(3,-3,1)=(-2,3,1)\)
\((3,-3,1)\)を通るので、
\(\displaystyle \frac{x-3}{-2}=\frac{y+3}{3}=z-1\)
\(\vec{u_1}=(5,5,2),\vec{u_2}=(7,-2,1)\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{u_1}・\vec{u_2}}{|\vec{u_1}||\vec{u_2}|}\)
\(\displaystyle =\frac{5・7+5・(-2)+2・1}{\sqrt{5^2+5^2+2^2}\sqrt{7^2+(-2)^2+1^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、
\(\theta=60°\)
空間における平面の方程式
【空間における平面の方程式】
\((x_0,y_0,z_0)\)を通り方向ベクトルが\(\vec{n}=(a,b,c)\)である平面の方程式は
\(\displaystyle a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)
\(\vec{n}\)をこの平面の法線ベクトルという。
【点と平面の距離】
\((x_0,y_0,z_0)\)と平面\(ax+by+cz+d=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(3x-3y+z+14=0\)
\(\displaystyle =\frac{|-4|}{\sqrt{50}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{2}}{5}\)