【高校数学C】1-2-1 位置ベクトル｜問題集
1.\(2\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b})\)を結ぶ線分\(AB\)に対して、次のような点の位置ベクトルを求めなさい。
(1)\(2:3\)で内分する点\(P(\vec{p})\)
\(\displaystyle \vec{p}=\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5}\)
(2)\(3:1\)で内分する点\(P(\vec{p})\)
\(\displaystyle \vec{p}=\frac{\vec{a}+3\vec{b}}{4}\)
(3)\(4:1\)で外分する点\(Q(\vec{q})\)
\(\displaystyle \vec{q}=\frac{-\vec{a}+4\vec{b}}{3}\)
(4)中点\(M(\vec{m})\)
\(\displaystyle \vec{m}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)
2.\(3\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)を頂点とする\(△ABC\)において、辺\(AB\)の中点を\(D\)、辺\(BC,CA\)をそれぞれ\(2:1,3:1\)に内分する点を\(E,F\)とする。次のベクトルを\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。
(1)\(\overrightarrow{AC}\)
\(=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\)
\(=\vec{c}-\vec{a}\)
(2)\(\overrightarrow{BE}\)
\(=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =\frac{\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}}{3}-\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}-\vec{b}\)
\(\displaystyle =-\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\)
(3)\(\overrightarrow{DF}\)
\(=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}\)
\(\displaystyle =\frac{3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{4}-\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}\)
3.\(△ABC\)と点\(P\)に対して、\(2\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}=\vec{0}\)が成り立っている。
(1)\(\overrightarrow{AP}\)を\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\)を用いて表しなさい。
\(2\overrightarrow{AP}+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})=\vec{0}\)
\(6\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}\)
(2)点\(P\)はどのような位置にあるか答えなさい。
\(\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{4}{6}・\frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}・\frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{1+3}\)
よって、\(BC\)を\(1:3\)に内分する点\(Q\)とすると、\(AQ\)を\(2:1\)に内分する。
4.\(3\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)を頂点とする\(△ABC\)において、重心\(G\)がある。\(△GBC\)の重心\(\vec{g}\)を\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)を用いて表しなさい。
\(\displaystyle \vec{g}=\frac{\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{\vec{a}+4\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)
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