3点が一直線上にある条件
【3点が一直線上にある条件】
\(3\)点\(A,B,C\)が一直線上にある。\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\)となる定数\(k\)がある。
【例題】平行四辺形\(ABCD\)において、辺\(BC\)を\(4:3\)に内分する点を\(P\)、対角線\(BD\)を\(4:7\)に内分する点を\(Q\)とするとき、\(3\)点\(A,Q,P\)は一直線上にあることを証明しなさい。
\(\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d}\)とすると、
\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}\)
\(\displaystyle =\vec{b}+\frac{4}{7}\vec{d}\)
\(\displaystyle =\frac{7\vec{b}+4\vec{d}}{7}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{7\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AD}}{4+7}\)
\(\displaystyle =\frac{7\vec{b}+4\vec{d}}{11}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{7}{11}\overrightarrow{AP}\)
したがって、\(A,Q,P\)は一直線上にある。
交点の位置ベクトル
【例題】\(△OAB\)において、辺\(OA\)の中点を\(C\)、辺\(OB\)を\(3:4\)に内分する点を\(D\)、線分\(AD\)と\(BC\)の交点を\(P\)とする。\(\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)とするとき、\(\overrightarrow{OP}\)を\(\vec{a},\vec{b}\)を用いて表しなさい。
点\(P\)は線分\(AD\)上にあるので、\(AP:PD=s:(1-s)\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OD}+(1-s)\overrightarrow{OA}\)
\(\displaystyle =(1-s)\vec{a}+\frac{3}{7}s\vec{b}\)
点\(P\)は線分\(BC\)上にあるので、\(BP:PC=t:(1-t)\)
\(\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}\)
\(\displaystyle 1-s=\frac{1}{2}t,\frac{3}{7}s=1-t\)
これを解くと、\(\displaystyle s=\frac{7}{11},t=\frac{8}{11}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{4}{11}\vec{a}+\frac{3}{11}\vec{b}\)
内積と図形の性質
【例題】\(OA=3,OB=2,∠AOB=60°\)の\(△OAB\)がある。次に問いに答えなさい。
(1)\(\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)とするとき、\(\vec{a}・\vec{b}\)を求めなさい。
\(\vec{a}・\vec{b}=3・2\cos60°=3\)
(2)\(△OAB\)の垂線を\(H\)とするとき、\(\overrightarrow{OH}\)を\(\vec{a}・\vec{b}\)を用いて表しなさい。
\(\overrightarrow{OH}=s\vec{a}+t\vec{b}\)とおく。
\(\overrightarrow{OH}・\overrightarrow{AB}=(s\vec{a}+t\vec{b})・(\vec{b}-\vec{a})\)
\(=-s|\vec{a}|^2+(s-t)\vec{a}・\vec{b}+t|\vec{b}|^2\)
\(=-9s+3(s-t)+4t\)
\(=-6s+t\)
\(OH\perp AB\)より、\(-6s+t=0\)
\(\overrightarrow{AH}・\overrightarrow{OB}=(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{a})・\vec{b}\)
\(=(s-1)\vec{a}・\vec{b}+t|\vec{b}|^2\)
\(=3(s-1)+4t\)
\(=3s+4t-3\)
\(AH\perp OB\)より、\(3s+4t-3=0\)
\(\displaystyle -6s+t=0,3s+4t-3=0\)
これを解くと、\(\displaystyle s=\frac{1}{9},t=\frac{2}{3}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac{1}{9}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\)