【高校数学C】1-2-2 ベクトルの図形への応用｜要点まとめ

\(\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d}\)とすると、
\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}\)
\(\displaystyle =\vec{b}+\frac{4}{7}\vec{d}\)
\(\displaystyle =\frac{7\vec{b}+4\vec{d}}{7}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{7\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AD}}{4+7}\)
\(\displaystyle =\frac{7\vec{b}+4\vec{d}}{11}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{7}{11}\overrightarrow{AP}\)
したがって、\(A,Q,P\)は一直線上にある。

点\(P\)は線分\(AD\)上にあるので、\(AP:PD=s:(1-s)\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OD}+(1-s)\overrightarrow{OA}\)
\(\displaystyle =(1-s)\vec{a}+\frac{3}{7}s\vec{b}\)

点\(P\)は線分\(BC\)上にあるので、\(BP:PC=t:(1-t)\)
\(\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}\)

\(\displaystyle 1-s=\frac{1}{2}t,\frac{3}{7}s=1-t\)
これを解くと、\(\displaystyle s=\frac{7}{11},t=\frac{8}{11}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{4}{11}\vec{a}+\frac{3}{11}\vec{b}\)

\(\vec{a}・\vec{b}=3・2\cos60°=3\)

\(\overrightarrow{OH}=s\vec{a}+t\vec{b}\)とおく。
\(\overrightarrow{OH}・\overrightarrow{AB}=(s\vec{a}+t\vec{b})・(\vec{b}-\vec{a})\)
\(=-s|\vec{a}|^2+(s-t)\vec{a}・\vec{b}+t|\vec{b}|^2\)
\(=-9s+3(s-t)+4t\)
\(=-6s+t\)
\(OH\perp AB\)より、\(-6s+t=0\)

\(\overrightarrow{AH}・\overrightarrow{OB}=(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{a})・\vec{b}\)
\(=(s-1)\vec{a}・\vec{b}+t|\vec{b}|^2\)
\(=3(s-1)+4t\)
\(=3s+4t-3\)
\(AH\perp OB\)より、\(3s+4t-3=0\)

\(\displaystyle -6s+t=0,3s+4t-3=0\)
これを解くと、\(\displaystyle s=\frac{1}{9},t=\frac{2}{3}\)
よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac{1}{9}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\)