【高校数学C】3-1-4 複素数と図形｜問題集
1.\(A(1+5i),B(7-i)\)のとき、次のような点の複素数を求めなさい。
(1)線分\(AB\)を\(1:2\)で内分する点
\(\displaystyle \frac{2(1+5i)+1(7-i)}{1+2}\)
\(\displaystyle =\frac{9+9i}{3}\)
\(=3+3i\)
\(\displaystyle =\frac{9+9i}{3}\)
\(=3+3i\)
(2)線分\(AB\)を\(3:2\)で外分する点
\(\displaystyle \frac{-2(1+5i)+3(7-i)}{3-2}\)
\(\displaystyle =\frac{19-13i}{1}\)
\(=19-13i\)
\(\displaystyle =\frac{19-13i}{1}\)
\(=19-13i\)
(3)線分\(AB\)の中点
\(\displaystyle \frac{(1+5i)+(7-i)}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{8+4i}{2}\)
\(=4+2i\)
\(\displaystyle =\frac{8+4i}{2}\)
\(=4+2i\)
2.\(3\)点\(A(-6+7i),B(-i),C(3)\)を頂点とする\(△ABC\)の重心の複素数を求めなさい。
\(\displaystyle \frac{(-6+7i)-i+3}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{-3+6i}{3}\)
\(=-1+2i\)
\(\displaystyle =\frac{-3+6i}{3}\)
\(=-1+2i\)
3.次の\(2\)点間の距離を求めなさい。
(1)\(P(-1+5i),Q(5+2i)\)
\(PQ=|(5+2i)-(-1+5i)|\)
\(=|6-3i|\)
\(=\sqrt{6^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{45}\)
\(=3\sqrt{5}\)
\(=|6-3i|\)
\(=\sqrt{6^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{45}\)
\(=3\sqrt{5}\)
(2)\(P(-6+7i),Q(-i)\)
\(PQ=|(-6+7i)-(-i)|\)
\(=|-6+8i|\)
\(=\sqrt{(-6)^2+8^2}\)
\(=\sqrt{100}\)
\(=10\)
\(=|-6+8i|\)
\(=\sqrt{(-6)^2+8^2}\)
\(=\sqrt{100}\)
\(=10\)
4.次の方程式を満たす点\(z\)の描く図形を求めなさい。
(1)\(|z|=2\)
原点を中心とする半径\(2\)の円
(2)\(|z-i|=1\)
点\(i\)を中心とする半径\(1\)の円
(3)\(|z+1|=1\)
点\(-1\)を中心とする半径\(1\)の円
(4)\((z-1)(\bar{z}-1)=4\)
\(|z-1|^2=4\)
\(|z-1|=2\)
点\(1\)を中心とする半径\(2\)の円
\(|z-1|=2\)
点\(1\)を中心とする半径\(2\)の円
(5)\(|2z+4-3i|=5\)
\(\displaystyle \left|z-\frac{-4+3i}{2}\right|=\frac{5}{2}\)
点\(\displaystyle \frac{-4+3i}{2}\)を中心とする半径\(\displaystyle \frac{5}{2}\)の円
点\(\displaystyle \frac{-4+3i}{2}\)を中心とする半径\(\displaystyle \frac{5}{2}\)の円
(6)\(|z|=|z+1|\)
原点と点\(-1\)を結ぶ線分の垂直二等分線
(7)\(|z-2|=|z-4i|\)
\(2,4i\)を結ぶ垂直二等分線
(8)\(|z+1|=|z-1+4i|\)
\(|z-(-1)|=|z-(1-4i)|\)
\(-1,1-4i\)を結ぶ垂直二等分線
\(-1,1-4i\)を結ぶ垂直二等分線
(9)\(2|z-3|=|z|\)
\(4|z-3|^2=|z|^2\)
\(4(z-3)(\bar{z}-3)=z\bar{z}\)
\(4z\bar{z}-12z-12\bar{z}+36=z\bar{z}\)
\(z\bar{z}-4z-4\bar{z}+12=0\)
\((z-4)(\bar{z}-4)=4\)
\(|z-4|^2=2^2\)
\(|z-4|=2\)
点\(4\)を中心とする半径\(2\)の円
\(4(z-3)(\bar{z}-3)=z\bar{z}\)
\(4z\bar{z}-12z-12\bar{z}+36=z\bar{z}\)
\(z\bar{z}-4z-4\bar{z}+12=0\)
\((z-4)(\bar{z}-4)=4\)
\(|z-4|^2=2^2\)
\(|z-4|=2\)
点\(4\)を中心とする半径\(2\)の円
(10)\(|z+16|=3|z-8i|\)
\(|z+16|^2=9|z-8i|^2\)
\((z+16)(\bar{z}+16)=9(z-8i)(\bar{z}+8i)\)
\(z\bar{z}+16z+16\bar{z}+256=9z\bar{z}+72iz-72i\bar{z}+576\)
\(z\bar{z}-2z-2\bar{z}+9iz+40=0\)
\((z-2-9i)(\bar{z}-2-9i)=45\)
\(|z-2-9i|^2=(3\sqrt{5})^2\)
\(|z-2-9i|=3\sqrt{5}\)
点\(2+9i\)を中心とする半径\(3\sqrt{5}\)の円
\((z+16)(\bar{z}+16)=9(z-8i)(\bar{z}+8i)\)
\(z\bar{z}+16z+16\bar{z}+256=9z\bar{z}+72iz-72i\bar{z}+576\)
\(z\bar{z}-2z-2\bar{z}+9iz+40=0\)
\((z-2-9i)(\bar{z}-2-9i)=45\)
\(|z-2-9i|^2=(3\sqrt{5})^2\)
\(|z-2-9i|=3\sqrt{5}\)
点\(2+9i\)を中心とする半径\(3\sqrt{5}\)の円
5.点\(z\)が原点\(O\)を中心とする円上で動くとき、次の点はどのような図形を描くか答えなさい。
(1)\(w=i(z-2),\)半径\(:1\)
\(w=iz-2i\)
\(\displaystyle z=\frac{w+2i}{i}\)
\(|z|=|w+2i|\)
半径が\(1\) なので、
\(|w+2i|=1\)
点\(-2i\)を中心とする半径\(1\)の円
\(\displaystyle z=\frac{w+2i}{i}\)
\(|z|=|w+2i|\)
半径が\(1\) なので、
\(|w+2i|=1\)
点\(-2i\)を中心とする半径\(1\)の円
(2)\(w=zi+2-i,\)半径\(:1\)
\(\displaystyle z=\frac{w-2+i}{i}\)
\(|z|=|w-2+i|\)
半径が\(1\) なので、
\(|w-2+i|=1\)
点\(2-i\)を中心とする半径\(1\)の円
\(|z|=|w-2+i|\)
半径が\(1\) なので、
\(|w-2+i|=1\)
点\(2-i\)を中心とする半径\(1\)の円
(3)\(\displaystyle w=\frac{z+2}{z-3},\)半径\(:2\)
\(\displaystyle z=\frac{3w+2}{w-1}\)
\(\displaystyle |z|=\left|\frac{3w+2}{w-1}\right|\)
半径が\(2\) なので、
\(|3w+2|=2|w-1|\)
\(|3w+2|^2=4|w-1|^2\)
\(9w\bar{w}+6w+6\bar{w}+4=4w\bar{w}-4w-4\bar{w}+4\)
\(5w\bar{w}+10w+10\bar{w}=0\)
\(w\bar{w}+2w+2\bar{w}=0\)
\((w+2)(\bar{w}+2)=4\)
\(|w+2|^2=2^2\)
\(|w+2|=2\)
点\(-2\)を中心とする半径\(2\)の円
\(\displaystyle |z|=\left|\frac{3w+2}{w-1}\right|\)
半径が\(2\) なので、
\(|3w+2|=2|w-1|\)
\(|3w+2|^2=4|w-1|^2\)
\(9w\bar{w}+6w+6\bar{w}+4=4w\bar{w}-4w-4\bar{w}+4\)
\(5w\bar{w}+10w+10\bar{w}=0\)
\(w\bar{w}+2w+2\bar{w}=0\)
\((w+2)(\bar{w}+2)=4\)
\(|w+2|^2=2^2\)
\(|w+2|=2\)
点\(-2\)を中心とする半径\(2\)の円
6.\(3\)点\(A(1-i),B(2+i),C(2i)\)のとき、\(\angle BAC\)を求めなさい。
\(\displaystyle \angle BAC=\arg\frac{2i-(1-i)}{(2+i)-(1-i)}\)
\(\displaystyle =\arg\frac{-1+3i}{1+2i}\)
\(\displaystyle =\arg(1+i)\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{4}\)
\(\displaystyle =\arg\frac{-1+3i}{1+2i}\)
\(\displaystyle =\arg(1+i)\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{4}\)
7.\(3\)点\(A(-1+i),B(3-i),C(x+3i)\)のとき、次の条件を満たす\(x\)の値を求めなさい。
(1)\(A,B,C\)が一直線上にある
\(\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+3i)-(-1+i)}{(3-i)-(-1+i)}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+1)+2i}{4-2i}\)
\(\displaystyle =\frac{2x+(x+5)i}{10}\)
よって、\(A,B,C\)が一直線上にあるのは、\(\displaystyle x+5=0\)なので、
\(x=-5\)
\(\displaystyle =\frac{(x+3i)-(-1+i)}{(3-i)-(-1+i)}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+1)+2i}{4-2i}\)
\(\displaystyle =\frac{2x+(x+5)i}{10}\)
よって、\(A,B,C\)が一直線上にあるのは、\(\displaystyle x+5=0\)なので、
\(x=-5\)
(2)\(AB\perp AC\)
\(AB\perp AC\)になるのは、\(2x=0\)
\(x=0\)
\(x=0\)
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