【高校数学C】1-2-3 ベクトル方程式｜要点まとめ

このページでは、高校数学Cの「ベクトル方程式」について整理しています。直線や円のベクトル方程式の立て方や、平面上の点の存在範囲をわかりやすく解説します。例題や図を用いて理解を深め、ベクトル方程式を用いた応用問題に対応できる力を養いましょう。

ベクトル方程式の基本概念

直線のベクトル方程式の求め方

【ベクトル方程式】
図形上の任意の点の位置ベクトル\(\vec{p}\)が満たす関係式を、その図形のベクトル方程式という。

【直線のベクトル方程式】
(1)点\(A(\vec{a})\)を通り、\(\vec{d}\)に平行な直線
・\(\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}\)
\(t\)を媒介変数、\(\vec{d}\)を直線の方向ベクトルという。

(2)異なる\(2\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b})\)を通る直線
・\(\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}\)
・\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b},s+t=1\)

(3)点\(A(\vec{a})\)を通り、\(\vec{n}\)に垂直な直線
・\(\vec{n}・(\vec{p}-\vec{a})=0\)
\(\vec{n}\)を直線の法線ベクトルという。

【例題】点\(A(2,0)\)を通り、方向ベクトルが\(\vec{u}=(4,-1)\)である直線\(l\)を媒介変数\(t\)を使って表示しなさい。また、直線\(l\)の方程式を求めなさい。
【例題】点\(A(4,-1),B(3,-2)\)を通る直線\(l\)を媒介変数\(t\)を使って表示しなさい。また、直線\(l\)の方程式を求めなさい。
【例題】点\(A(0,2)\)を通り、法線ベクトルが\(\vec{n}=(3,-2)\)である直線\(l\)の方程式を求めなさい。

円のベクトル方程式の求め方

【円のベクトル方程式】
(1)中心\(C(\vec{c})\)、半径\(r\)の円
・\(|\vec{p}-\vec{c}|=r\)

(2)異なる\(2\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b})\)を直径の両端とする円
・\((\vec{p}-\vec{a})・(\vec{p}-\vec{b})=0\)

【例題】定点\(A(\vec{a})\)と動点\(P(\vec{p})\)に対して、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めなさい。

(1)\(|\vec{p}-2\vec{a}|=3\)
(2)\(|2\vec{p}+\vec{a}|=2\)

平面上の点の存在範囲の考え方

【平面上の点の存在範囲】
(1)点\(P\)が線分\(AB\)上にある
・\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(s+t=1,s\geqq0,t\geqq0\)

(2)点\(P\)が\(△OAB\)の周上および内部にある
・\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(s+t\leqq1,s\geqq0,t\geqq0\)

【例題】\(△OAB\)において、\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)とする。実数\(s,t\)が次の条件を満たしながら動くとき、点\(P\)の存在範囲を求めなさい。

(1)\(2s+t=2,s\geqq0,t\geqq0\)
(2)\(2s+t\leqq2,s\geqq0,t\geqq0\)
次の学習に進もう！
📝練習問題に挑戦！ 📱次の単元:空間の座標 📱前の単元:ベクトルの図形への応用 📚高校数学C 一覧ページに戻る