ベクトル方程式
直線のベクトル方程式
【ベクトル方程式】
図形上の任意の点の位置ベクトル\(\vec{p}\)が満たす関係式を、その図形のベクトル方程式という。
【直線のベクトル方程式】
(1)点\(A(\vec{a})\)を通り、\(\vec{d}\)に平行な直線
・\(\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}\)
\(t\)を媒介変数、\(\vec{d}\)を直線の方向ベクトルという。
(2)異なる\(2\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b})\)を通る直線
・\(\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}\)
・\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b},s+t=1\)
(3)点\(A(\vec{a})\)を通り、\(\vec{n}\)に垂直な直線
・\(\vec{n}・(\vec{p}-\vec{a})=0\)
\(\vec{n}\)を直線の法線ベクトルという。
【例題】点\(A(2,0)\)を通り、方向ベクトルが\(\vec{u}=(4,-1)\)である直線\(l\)を媒介変数\(t\)を使って表示しなさい。また、直線\(l\)の方程式を求めなさい。
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}\)より、
\((x,y)=(2,0)+t(4,-1)=(2+4t,-t)\)
よって、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=4t+2\\
y=-t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
また、直線\(l\)の方程式は
\(\displaystyle y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\)
【例題】点\(A(4,-1),B(3,-2)\)を通る直線\(l\)を媒介変数\(t\)を使って表示しなさい。また、直線\(l\)の方程式を求めなさい。
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}\)より、
\((x,y)\)
\(=(1-t)(4,-1)+t(3,-2)\)
\(=(4-t,-1-t)\)
よって、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-t+4\\
y=-t-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
また、直線\(l\)の方程式は
\(y=x-5\)
【例題】点\(A(0,2)\)を通り、法線ベクトルが\(\vec{n}=(3,-2)\)である直線\(l\)の方程式を求めなさい。
\(P(x,y)\)とおくと、\(\vec{n}・(\vec{p}-\vec{a})=0\)より、
\((3,-2)・((x,y)-(0,2))\)
\(=(3,-2)・(x,y-2)\)
\(=3x-2(y-2)\)
\(=3x-2y+4\)
よって、
\(3x-2y+4=0\)
円のベクトル方程式
【円のベクトル方程式】
(1)中心\(C(\vec{c})\)、半径\(r\)の円
・\(|\vec{p}-\vec{c}|=r\)
(2)異なる\(2\)点\(A(\vec{a}),B(\vec{b})\)を直径の両端とする円
・\((\vec{p}-\vec{a})・(\vec{p}-\vec{b})=0\)
【例題】定点\(A(\vec{a})\)と動点\(P(\vec{p})\)に対して、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めなさい。
(1)\(|\vec{p}-2\vec{a}|=3\)
中心の位置ベクトルは\(2\vec{a}\)
半径は\(3\)
(2)\(|2\vec{p}+\vec{a}|=2\)
\(\displaystyle \left|\vec{p}-\left(-\frac{1}{2}\vec{a}\right)\right|=1\)
中心の位置ベクトルは\(\displaystyle -\frac{1}{2}\vec{a}\)
半径は\(1\)
平面上の点の存在範囲
【平面上の点の存在範囲】
(1)点\(P\)が線分\(AB\)上にある
・\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(s+t=1,s\geqq0,t\geqq0\)
(2)点\(P\)が\(△OAB\)の周上および内部にある
・\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(s+t\leqq1,s\geqq0,t\geqq0\)
【例題】\(△OAB\)において、\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)とする。実数\(s,t\)が次の条件を満たしながら動くとき、点\(P\)の存在範囲を求めなさい。
(1)\(2s+t=2,s\geqq0,t\geqq0\)
\(2s+t=2\)より、\(\displaystyle s+\frac{t}{2}=1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =s\overrightarrow{OA}+\frac{t}{2}(2\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は線分\(AB'\)上にある。
(2)\(2s+t\leqq2,s\geqq0,t\geqq0\)
\(2s+t\leqq2\)より、\(\displaystyle s+\frac{t}{2}\leqq1\)
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
\(\displaystyle =s\overrightarrow{OA}+\frac{t}{2}(2\overrightarrow{OB})\)
よって、
\(2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}\)となる点\(B'\)があり、
点\(P\)の存在範囲は\(△OAB'\)の周上および内部にある。